Hypebol | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Hypebol

1. Định nghĩa Hypebol

Cho hai điểm cố định F1,F2 với F1F2=2c(c>0) và hằng số a<c.

Hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn  |MF1−MF2|=2a. Kí hiệu (H)

Ta gọi: F1,F2 là tiêu điểm của (H).

Khoảng cách F1F2=2c là tiêu cự của (H).

2. Phương trình chính tắc của Hypebol

Với F1(−c;0),F2(c;0)

M(x;y)∈(H)⇔x2a2−y2b2=1 với b2=c2−a2 (2)

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

3. Hình dạng và tính chất của Hypebol (H)

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(−c;0), tiêu điểm phải F2(c;0)

+ Các đỉnh: A1(−a;0),A2(a;0)

+ Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của hypebol.

Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.

+ Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x=±a,y=±b gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là y=±bax 

+ Tâm sai: e=ca>1

+ M(xM;yM) thuộc (H) thì:

MF1=|a+exM|=|a+caxM|, MF2=|a−exM|=|a−caxM|

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc x29−y27=1. Tính bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 12.

Lời giải:

Có a² = 9, b² = 7 ⇒a=3, c=a2+b2=9+7=4.

Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:

Bài 2: Một hypebol mà độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo được gọi là hypebol vuông. Tìm tâm sai và phương trình hai đường tiệm cận của hypebol vuông.

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của một hypebol vuông là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).

Vì độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo nên a = b ⇒c=a2+b2=a2+a2=a2

⇒ Tâm sai e = ca=a2a=2.

Phương trình hai đường tiệm cận là: y=−bax⇔y=−x và y=bax⇔y=x.

Bài 3: Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách 200 km (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292000 km/s. Một tàu thuỷ nhận được tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B và nhận được tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A.

a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.

b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.

c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu. Từ đó, tính toạ độ của M (các số được làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Tính các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km).

Lời giải:

Gọi vận tốc phát tín hiệu là v (theo đề bài v = 292000 km/s);

t_A, t_B, t_C, t_D lần lượt là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ các trạm A, B, C, D;

M là vị trí của tàu thuỷ.

a) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C là:

MB – MC = v.t_B – v.t_C = v(t_B – t_C) = 292000 . 0,0005 = 146 (km).

b) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D là:

MA – MD = v.t_D – v.t_A = v(t_D – t_A) = 292000 . 0,001 = 292 (km).

c)

+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H₁) nhận B, C làm tiêu điểm là x2a12−y2b12=1 (a₁ > 0, b₁ > 0).

Vì MB – MC = 146 nên 2a₁ = 146 ⇒ a₁ = 73⇒a12 = 5329.

Ta thấy B(–100; 0) và C(100; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c₁ = 100

 ⇒b12=c12−a12 = 100² – 73² = 4671.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H₁) là x25329−y24671=1.

+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H₂) nhận A, D làm tiêu điểm là x2a22−y2b22=1 (a₂ > 0, b₂ > 0).

Vì MA – MD = 29,2 nên 2a₂ = 292 ⇒ a₂ = 146

Ta thấy A(–300; 0) và D(300; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c₂ = 300

 ⇒b22=c22−a22 = 300² – 146² = 68684.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H₂) là x221316−y268684=1.

Gọi toạ độ của M là (x; y). Vì M thuộc cả (H₁) và (H₂) nên ta có:

x25329−y24671=1×221316−y268684=1⇒x2=34112527712500y2=24061722312500⇒x≈165y≈139 (vì theo hình vẽ x, y > 0)

d) MB = 165−−1002+139−02≈ 299 (km);

MC = 165−1002+139−02≈ 153 (km).

Bài 4: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Lời giải:

Xét hypebol có phương trình chính tắc là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là: d₁ : y=−bax hay bx + ay = 0 và d₂ : y=bax hay bx – ay = 0.

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

d(M, d₁) = bx+ayb2+a2, d(M, d₂) = bx−ayb2+a2.

⇔ d(M, d₁).d(M, d₂) = bx+ayb2+a2.bx−ayb2+a2=bx2−ay2a2+b2 (*).

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên

x2a2−y2b2=1⇒x2b2−a2y2a2b2=1

⇒bx2−ay2=a2b2

Thay vào (*) ta được: d(M, d₁).d(M, d₂) = a2b2a2+b2=a2b2a2+b2 (không đổi).

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;

b) (H) có tiêu cự bằng 213, một đường tiệm cận là y=23x;

c) (H) có tâm sai e=5, và đi qua điểm (10;6).

Lời giải:

a)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có nửa trục thực bằng 4 ⇒ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự bằng 10 ⇒ 2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay x216−y29=1.

b)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 

+) Hypebol có một đường tiệm cận là y=23x ⇒ba=23

⇒b2=a3⇒b24=a29=b2+a24+9=c213=13213=1 ⇒b2=4a2=9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay x29−y24=1.

c)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tâm sai

+) Hypebol đi qua điểm (10;6) ⇒ 102a2−62b2=1⇒10a2−36b2=1 (2).

Thế (1) vào (2) ta được:

⇒10a2−364a2=1⇒10a2−9a2=1⇒1a2=1⇒a2=1⇒b2=4.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x21−y24=1.

Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc x29−y24=1. Xác định toạ độ các đỉnh, độ dài các trục, tâm sai và phương trình các đường chuẩn của hypebol.

Lời giải:

Có a² = 9, b² = 4 ⇒ a = 3, b = 2, c = a2+b2=9+4=13.

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–3; 0), A₂(3; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 6, độ dài trục ảo là 2b = 4.

Tâm sai e = ca=133.

Phương trình các đường chuẩn của hypebol là: Δ1:x=−a2c⇔x=−913, Δ2:x=a2c⇔x=913.