50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng

I. Định lý cơ bản của Vi tích phân

* Định lý (Định lý cơ bản của Vi tích phân):

Cho f : [a;b] →ℝ là hàm liên tục. Khi đó: 

* Nhận xét:

• Đẳng thức (*) không phụ thuộc vào nguyên hàm được chọn. Thật vậy, giả sử H là một nguyên hàm khác của f trên [a;b]; khi đó, theo định lý giá trung bình, ta nhận được H = F + C trên [a;b] với C là một hàm hằng số thực (có thể xem như hàm hằng), và:

II. Một số hệ quả Định lý cơ bản của Vi tích phân

Hệ quả 1: Mọi hàm liên tục trên một đoạn thì có nguyên hàm trên đoạn đó.

Bài tập: Tính f'(0) với f(x) = ∫0xet2dt.

Hệ quả 2: Nếu f có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì f(x) = f(a) + ∫axf'(t)dt với mọi x ∈[a;b]

Hệ quả 3: Cho hàm số u khả vi trên khoảng I và hàm số f liên tục trên khoảng K chứa {a} 

Khi đó ddx∫au(x)f(t)dt=f(u(x))u'(x) với mọi x ∈I

Chứng minh: 

Hệ quả 4: Cho hàm f : [a;b] →ℝ thỏa f(x) ≥0 với mọi x∈[a;b] và ∫abf(t)dt=0. Khi đó f(x) = 0 với mọi x∈[a;b].

Chứng minh:

Hệ quả 5: Cho hàm f : [a;b] →ℝ liên tục và thỏa f(x) > 0 với mọi x∈[a;b]. Khi đó ∫abf(x)dx>0

Hệ quả 6: (Định lý giá trị trung bình cho tích phân) Cho hàm f liên tục trên [a;b]. Khi đó có số thực x∈(a;b) sao cho

Chứng minh:

III. Một số ứng dụng của Định lý cơ bản của Vi tích phân

Bài toán 1: Cho hàm số f xác định và liên tục trên ℝ. Tìm giới hạn limx→01x∫ox2-xf(t)dt.

Lời giải

Bài toán 2: Cho f : [0;1] →[0;1] là hàm liên tục trên [0;1] . Chứng minh rằng phương trình 2x – ∫0xf(t)dt=1 có duy nhất nghiệm trên [0;1]

Lời giải

Bài toán 3: Tìm tất cả các hàm số thực f xác định và liên tục trên ℝ thỏa 2x – ∫0xf(t)dt=1 với mọi x∈ℝ

Lời giải

Bài toán 4: Cho hàm số liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện 

∫x1f(t)dt≥1-x22,∀x∈[0;1] . Hãy chứng minh ∫01[(f(x)]2dx≥∫01xf(x)dx

Lời giải

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện:

∫x1f(t)dt≥1-x22, ∀x∈[0;1]. Hãy chứng minh ∫01[f(x)]2dx≥∫01xf(x)dx

Lời giải:

Bài 2: Cho hàm số liên tục f: [0;1] →[0;+∞] thỏa mãn điều kiện [f(x)]² ≤ 1 + 2∫0xf(t)dt với mọi x∈ [0;1]. Chứng minh rằng: ∫0xf(t)dt≤x+x22,∀x∈[0;1]

Lời giải:

x ∈ [0;1]. Điều này tương đương 1+2F(x)-1≤x với mọi x∈ [0;1]. Chính vì thế, ta nhận được ∫0xf(t)dt≤x+x22,∀x∈[0;1]