Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác lớp 11
I. Lý thuyết
1. Kiến thức cơ bản
– Khái niệm: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng ( quy ước chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ) và trên đó chọn điệm A làm gốc.
– Điểm M(x;y) trên đường tròn lượng giác sao cho (OA; OM) = α được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo α.
Trục Ox được gọi là trục giá trị của cos.
Trục Oy được gọi là trục giá trị của sin.
Trục At gốc A cùng hướng với trục Oy được gọi là trục giá trị của tan.
Trục Bs gốc B cùng hướng với trục Ox được gọi là trục giá trị của cot.
– Giá trị lượng giác sin, cosin, tan và cot:
Dấu của các giá trị lượng giác
Cung liên kết
Góc đối nhau ( cos đối) |
Góc bù nhau (sin bù) |
Góc phụ nhau (Phụ chéo) |
Góc hơn kém (Khác pi tan) |
cos (-α)= cos α | Sin (π-α) = sin α | sin (π/2-α)= cos α | Sin (π+α) = -sin α |
Sin (-α) = -sin α | Cos (π-α) – cos α | cos (π/2-α) = sinα | cos (π+α) = -cosα |
Tan (-α) = tan α | Tan (π-α)= -tan α | Tan (π/2-α) = cot α | tan (π+α) = tanα |
cot (-α) = -cot α | cota (π-α)= – cot α | Cot (π/2-α) = tan α | cot (π+α) = cotα |
2. Các công thức trọng tâm
– Công thức cơ bản
Sin2x + cos2x =1 | Tanx = sinx/cosx | Cotx = cosx/sinx |
Tanx.cotx = 1 | 1+tan2x = 1/ cos2x | 1 + cot2x = 1/sin2x |
Công thức cộng
Cos (a+b) = cosa.cosb – sina.sinb
Cos (a-b) = cosacosb + sina.sinb
Sin (a+b) = sina.cosb + sinb.cosa
tan (a+b) = (tana + tanb)/ (1 – tana.tanb)
tan (a-b) = (tana – tanb)/ (1 + tana.tanb)
Công thức nhân đôi, hạ bậc
Sin2a = 2sina.cosa, tan 2a = 2tana/(1 – tan²a)
Cos2a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a = cos²a – sin²a
Sin²a = (1-cos2a)/2, cos²a = (1+ cos2a)/2
Cos3a = 4cos³a – 3cosa ⇒ cos³a = (3cosa + cos3a) / 4
Sin3a = 3sina – 4sin³a ⇒ sin³a = (3sina -sin3a)/4
Công thức biến đổi tổng thành tích
Cosa + cosb = 2cos (a+b)/2.cos (a-b)/2
Cosa – cosb = -2sin(a+b)2.sin (a-b)/2.
Sina+sinb = 2sin(a+b)/2.cos (a-b)/2
Công thức biến đổi tích thành tổng
Cosa.cosb = 1/2 [cos (a-b) +cos (a+b)]
Sina.sinb = 1/2 [cos(a-b)- cos(a+b)]
Sina.cosb = 1/2 [ sin (a-b) + sin (a+b)].
II. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính:
a. cos37π12;
b. tanπ24+tan7π24.
Lời giải:
a. cos37π12=cos2π+π+π12
=cosπ+π12
=−cosπ12
=−cosπ3−π4
=−cosπ3.cosπ4+sinπ3.sinπ4
=−6+24
b.tanπ24+tan7π24=sinπ3cosπ24.cos7π24
=3cosπ3+cosπ4=26−3
Bài 2: Tính:
a. tanx+π4 biết sinx=35 với π2<x<π;
b. cosα−β biết sinα=513, π2<α<π và , 0<β<π2.
Lời giải:
a. Ta có:
sin2x+cos2x=1⇒cosx=±1−sin2x=±1−925=±45 .
Vì π2<x<π nên cosx=−45
Do đó tanx=sinxcosx=−34.
Ta có: tanx+π4=tanx+tanπ41−tanx.tanπ4=−34+11+34=17.
b. Ta có:
sinα=513, π2<α<π nên cosα=−1−5132=−1213.
cosβ=35, 0<β<π2 nên sinβ=1−352=45.
cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ =−1213.35+513.45=−1665 .
Bài 3: Chứng minh rằng:
a. sin4x+cos4x= 14cos4x+34
b. cos3x.sin3x+sin3x.cos3x=34sin4x
Lời giải:
a. (Áp dụng công thức hạ bậc) Ta có:
VT=sin4x+cos4x
=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x
=1−12sin22x=1−12.1−cos4x2
=34+14cos4x=VP
Suy ra đpcm.
b. (Áp dụng công thức góc nhân ba) Ta có:
VT= 14cos3x3sinx−sin3x+ 14sin3x3cosx+cos3x
=34sinx.cos3x+cosx.sin3x=34sin4x=VP
Suy ra đpcm.
Bài 4: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
sin3B2cosA+C2+cos3B2sinA+C2−cos(A+C)sinB.tanB=2
Lời giải:
Do tam giác ABC có A+B+C=1800, suy ra A+C=1800−B
Do đó, ta có:
VT=sin3B2cos1800−B2+cos3B2sin1800−B2−cos1800−BsinB.tanB
=sin3B2sinB2+cos3B2cosB2−−cosBsinB.tanB
=sin2B2+cos2B2+1=2=VP
Suy ra đpcm.
Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết tại Giải Bài Tập. Mời các bạn cùng xem các nội dung học tập, giải trí và các kiến thức thú vị khác tại đây. Chúc các bạn lướt web vui vẻ !