Các bài toán tính nhanh phân số lớp 4,5
I. Các dạng toán tính nhanh phân số
Dạng 1: Nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp phân số liền trước 2 lần.
Tính nhanh giá trị biểu thức: A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
Cách 1:
Bước 1: Đặt A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
Bước 2: Ta thấy:
1/2 = 1 – 1/2
1/4 = 1/2 – 1/4
1/8 = 1/4 – 1/8
Bước 3: Vậy A = (1 – 1/2) + (1/2 – 1/4) + (1/4 – 1/8) + … + (1/32 – 1/64)
A = 1 – 1/2 + 1/2 – 1/4 + 1/4 – 1/8 + … + 1/32 – 1/64
A = 1 – 1/64
A = 64/64 – 1/64
A = 63/64
Đáp số: 63/64
Cách 2:
Bước 1: Đặt A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
Bước 2: Ta thấy:
1/2 = 1 – 1/2
1/2 + 1/4 = 3/4 = 1 – 1/4
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 = 1 – 1/8
Bước 3: Vậy A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 1 – 1/64 = 64/64 – 1/64 = 63/64
Dạng 2: Nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp phân số liền trước n lần (n > 1).
Bài 1. Tính nhanh giá trị biểu thức: A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
Cách giải:
Bước 1: Tính A x n ( n = 2).
Ta có: A x 2 = 2 x (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) = 2/2 + 2/4 + 2/8 + 2/16 + 2/32 + 2/64 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32
Bước 2: Tính A x n – A = A x (n – 1)
A x 2 – A = (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32) – (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64)
A x ( 2 – 1) – A = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 – 1/2 – 1/4 – 1/8 – 1/16 – 1/32 – 1/64
A = 1 – 1/64
A = 64/64 – 1/64
A = 63/64
Bài 2. Tính nhanh giá trị biểu thức: B = 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/162 + 5/486.
Bước 1. Tính B x n (n = 3)
B x 3 = 3 x (5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162 + 5/486)
B = 15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162
Bước 2. Tính B x n – B
B x 3 – B = (15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162) – (5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/162 + 5/486)
B x (3 – 1) = B x 2 = 15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162 – 5/2 – 5/6 – 5/18 – 5/54 – 5/162 – 5/486
B x 2 = 15/2 – 5/486
B x 2 = (3645 – 5)/ 486 = 3640/486
B = 3640/486 : 2
B = 1820/486
B = 910/243
Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số
Phân số ở trường hợp này có tử số là n ( n > 0); mẫu số là tích của hai thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu số liền sau.
Bài 1. Tính nhanh giá trị biểu thức sau:
A = 1/ (2 x 3) + 1/ (3 x 4) + 1/ ( 4 x 5) + 1/ ( 5 x 6)
A = (3 – 2)/ (2 x 3) + (4 – 3)/ (3 x 4) + (5 – 4)/ (4 x 50 + (6 – 5)/ (5 x 6)
A = 3/ (2 x 3) – 2/ (2 x 3) + 4/ (3 x 4) – 3/ (3 x 4) + 5/ (4 x 5) – 4/ (4 x 5) + 6/ (5 x 6) – 5/ (5 x 6)
A = 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + 1/4 – 1/5 + 1/5 – 1/6
A = 1/2 – 1/6
A = 3/6 – 1/6
A = 2/6
A = 1/3
Bài 2. Tính nhanh giá trị biểu thức sau:
B = 3 / (2 x 5) + 3 / (5 x 8) + 3 / (8 x 11) + 3 / (11 x 14)
B = (5 – 2) / (2 x 5) + (8 – 5) / (5 x 8) + (11 – 8) / (8 x 11) + (14 – 11) / (11 x 14)
B = 5 / (2 x 5) – 2 / (2 x 5) + 8 / (5 x 8) – 5 / (5 x 8) + 11 / (8 x 11) – 8 / (8 x 11) + 14 / (11 x 14) – 11 / (11 x 14)
B = 1/2 – 1/5 + 1/5 – 1/8 + 1/8 – 1/11 + 1/11 – 1/14
B = 1/2 – 1/14
B = 7/14 – 1/14
B = 6/14
B = 3/7
Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích
Trong trường hợp này mẫu số là tích của 3 thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau.
Tính nhanh giá trị phân số:
A = 4 / (1 x 3 x 5) + 4 / (3 x 4 x 7) + 4 / (5 x 7 x 9) + 4 / (7 x 9 x 11) + 4 / (9 x 11 x 13)
A = (5 – 1) / (1 x 3 x 5) + (7 – 3) / (3 x 5 x 7) + (9 – 5) / (5 x 7 x 9) + (11 – 7) / (7x 9x 11) + (13 – 9) / (9 x 11 x 13)
A = 5 / (1 x 3 x 5) – 1 / (1 x 3 x 5) + 7 / (3 x 5 x 7) – 3 / (3 x 5 x 7) + 9 / (5 x 7 x 9) – 5 / (5 x 7 x 9) + 11 / (7 x 9 x 11) – 7 / (7 x 9 x 11) + 13 / (9 x 11 x 13) – 9 / (9 x 11 x 13)
A = 1 / (1 x 3) – 1 / (3 x 5) – 1 / (3 x 7) + 1 / (5 x 7) – 1 / (7 x 9) + 1 / (7 x 9) – 1 / (9 x 11) + 1 / (9 x 11) + 1 / (11 x 13)
A = 1 / (1 x 3) – 1 / (11 x 13)
A = (11 x 13 – 3) / (3 x 11 x 13)
A = (143 – 3) / 429
A = 140/429
Dạng 5: Tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có quan hệ với tỉ số với mẫu số của phân số kia
Bài 1. Tính nhanh giá trị phân số sau:
A = 1991/1990 x 1992/1991 x 1993/1992 x 1994/1993 x 995/997
A = (1991/1990 x 1992/1991) x (1993/1992 x 199/1993) x 995/997
A = (1992/1990 x 1994/1992) x 995/997
A = 1994 / 1990 x 995 / 997
A = 997 / 995 x 995 / 997
A = 1
Bài 2. Tính nhanh giá trị phân số sau:
B = 2000/2001 x 2002/2003 x 2001/2002 x 2003/2004 x 2006/2000
B = (2000/2001 x 2001/2002) x (2002/2003 x 2003/2004) x 2006/2000
B = 2000/2002 x 2002/2004 x 2006/2000
B = 2000/2004 x 2006/2000
B = 2006 / 2004
B = 1003 / 1002
Bài 3. Tính nhanh giá trị phân số sau:
C = 328/435 x 468/432 x 435/164 x 432/984 x 164/468
C = (328/435 x 435/164) x (468/432 x 432/984) x 164/468
C = 328/164 x 468/984 x 164/468
C = (328/164 x 164/468) x 468/984
C = 328/468 x 468/984
C = 328/984
C = 1/3
Dạng 6: Vận dụng tính chất của 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc ở mẫu số
Bài 1. Tính nhanh phân số sau:
A = 37/53 x 23/48 x 535353/373737 x 242424/232323
A = 37/53 x 23/48 x (53 x 10101) / (37 x 10101) x (24 x 10101) / (23 x 10101)
A = 37/53 x 23/48 x 53/37 x 24/23
A = (37/53 x 53/37) x (23/48 x 24/23)
A = 1 x 24/48
A = 24/48
A = 1/2
Bài 2. Tính nhanh phân số sau:
B = (2003 x 1999 – 2003 x 999) / (2004 x 999 + 1004)
B = [2003 x (1999 – 999)] / [(2003 + 1) x 999 + 1004]
B = (2003 x 1000) / [2003 x 999 + (999 + 10004)]
B = (2003 x 1000) / (2003 x 999 + 2003)
B = (2003 x 1000) / (2003 x 1000)
B = 1 (vì tử số bằng mẫu số)
II. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
59+137+1513+87+49+1113
Câu 2:
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
3×15×812×6×5
Câu 3:
Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách thuận tiện nhất:
A=3200+8200+13200+18200+…+193200+198200
Câu 4:
Tính nhanh:
A=(1−12)×(1−13)×(1−14)×(1−15)×(1−16)×(1−17)×(1−18)
Câu 5:
Tính nhanh:
A=(1+12)×(1+13)×(1+14)×(1+15)×(1+16)
Câu 6:
Tính nhanh:
137512×327213×51257×213685×57327
Câu 7:
Tính nhanh:
23231818×727272696969
Câu 8:
Tính nhanh:
(1−34)×(1−37)×(1−310)×(1−313)×(1−316)
Câu 9:
Tính nhanh:
(1+12)×(1+13)×…×(1+12020)
Câu 10:
Tính nhanh:
A=(1−12)×(1−13)×(1−14)×…×(1−199)+(1−47)×(1−411)×(1−415)×…×(1−499)
Lời giải
Câu 1:
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
59+137+1513+87+49+1113
Bài giải
59+137+1513+87+49+1113
=(59+49)+(137+87)+(1513+1113)=1+3+2=6
Câu 2:
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
3×15×812×6×5
Bài giải
3×15×812×6×5=3×3×5×4×23×4×2×3×5=1
Câu 3:
Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách thuận tiện nhất:
A=3200+8200+13200+18200+…+193200+198200
Bài giải
A=3200+8200+13200+18200+…+193200+198200=3+8+13+18+…+193+198200
Dãy số 3; 8; 13; …. ; 198 có số số hạng là:
(198 – 3) : 5 + 1 = 40 (số hạng)
Tổng dãy số 3; 8; 13; … ; 198 là:
(198 + 3) x 40 : 2 = 4020
⇒A=4020200=20110
Câu 4:
Tính nhanh:
A=(1−12)×(1−13)×(1−14)×(1−15)×(1−16)×(1−17)×(1−18)
Bài giải
A=(1−12)×(1−13)×(1−14)×(1−15)×(1−16)×(1−17)×(1−18)=12×23×34×45×56×67×78=18
Câu 5:
Tính nhanh:
A=(1+12)×(1+13)×(1+14)×(1+15)×(1+16)
Bài giải
A=(1+12)×(1+13)×(1+14)×(1+15)×(1+16)=32×43×54×65×76=72
Câu 6:
Tính nhanh:
137512×327213×51257×213685×57327
Bài giải
137512×327213×51257×213685×57327=137×327×512×213×57512×213×57×685×327=137685=137137×5=15
Câu 7:
Tính nhanh:
23231818×727272696969
Bài giải
23231818×727272696969=23×10118×101×72×1010169×10101=2318×7269=23×7218×69=23×18×418×23×3=43
Câu 8:
Tính nhanh:
(1−34)×(1−37)×(1−310)×(1−313)×(1−316)
Bài giải
(1−34)×(1−37)×(1−310)×(1−313)×(1−316)=14×47×710×1013×1316=116
Câu 9:
Tính nhanh:
(1+12)×(1+13)×…×(1+12020)
Bài giải
(1+12)×(1+13)×(1+14)×…×(1+12020)=32×43×54×…×20212020=20212
Câu 10:
Tính nhanh:
A=(1−12)×(1−13)×(1−14)×…×(1−199)+(1−47)×(1−411)×(1−415)×…×(1−499)
Bài giải
(1−12)×(1−13)×(1−14)×…×(1−199)
= 12×23×34×…×9899 =199
(1−47)×(1−411)×(1−415)×…×(1−499)
=37×711×1115×…×9599=399=133
A=199+133=499
Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết tại Giải Bài Tập. Mời các bạn cùng xem các nội dung giải trí học tập và các kiến thức thú vị khác tại đây.