Giải Bất Phương Trình Bằng Cách đặt ẩn Phụ

Giải bất phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

I. Lý thuyết

1. Đặt một ẩn phụ
Tìm mối liên hệ giữa các biến để đặt ẩn phụ thích hợp. Một số dạng cơ bản thường gặp:
Tài liệu VietJack

Xin nhắc lại,hầu hết các đề bài sẽ không cho ngay mối quan hệ để nhìn thấy cách đặt ẩn phụ ngay do đó ta cần biết phán đoán hướng đi của bài toán dựa trên cơ sở phân tích hợp lý

2. Đặt hai ẩn phụ

3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn là một hình thức phân tích thành nhân tử. Khi đặt ẩn phụ t thì biến x vẫn tồn tại và ta xem x là tham số. Thông thường thì đó là phương trình bậc hai theo t (tham số x) và giải bằng cách lập Δ.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: $left( x-1 right)sqrt{2x-1}le 3left( x-1 right)$

Lời giải

Điều kiện xác định:

Đặt

BPT trở thành:

Kết hợp với điều kiện ta có:

Vậy bất phương trình có nghiệm

Vậy bất phương trình có tập nghiệm

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

Lời giải:

Điều kiện xác định:

Đặt

Xét $y={{x}^{2}}-2xt-1$ ta coi y như một tam thức bậc 2 đối với x

$Delta '={{t}^{2}}+1={{x}^{2}}+2x+1={{left( x+1 right)}^{2}}ge 0forall xRightarrow left[ begin{matrix} x=t+x+1 \ x=t-x-1 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix} t+1=0 \ 2x-t+1=0 \ end{matrix} right.$

$sqrt{{{x}^{2}}+2x}+1ge 1forall x Rightarrow 2x+1-sqrt{{{x}^{2}}+2x}le 0$

$Leftrightarrow left{ begin{matrix} 2x-1ge 0 \ {{left( 2x+1 right)}^{2}}ge {{x}^{2}}+2x \ end{matrix} right.Leftrightarrow xge 0$

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: $sqrt{1-x}+sqrt{x}le m$

Lời giải:

Điều kiện xác định:

Đặt

Bất phương trình tương đương: $left{ begin{matrix} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \ a+ble m \ end{matrix} right. {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{left( a+b right)}^{2}}-2ab=1 Rightarrow a+b=sqrt{1+2ab}ge 1$

Ta có vế trái có GTNN là 1 khi ab = 0. Vậy để BPT có nghiệm thì $mge 1$

Vậy BPT có nghiệm khi $mge 1$

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

_{Lời giải:}

Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} 2{{x}^{2}}+12x+6ge 0 \ 2x-1ge 0 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} xin mathbb{R}backslash left( -3-sqrt{6},-3+sqrt{6} right) \ xge frac{1}{2} \ end{matrix}Leftrightarrow right.xge frac{1}{2}$

Bất phương trình tương đương: $sqrt{2{{left( x+2 right)}^{2}}+2left( 2x-1 right)}-sqrt{2x-1}>x+2(*) left{ begin{matrix} a=sqrt{2x-1} \ b=x+2 \ end{matrix},age 0 right.$

$Leftrightarrow left{ begin{matrix} a+bge 0 \ {{left( a-b right)}^{2}}>0 \ end{matrix}Leftrightarrow ane b right. Leftrightarrow a=bRightarrow left[ begin{matrix} x=5 \ x=1 \ end{matrix} right.$