Tổng hợp công thức đạo hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Giới hạn nếu có của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại , khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm .
Cho hàm số xác định trên và :
==
Nếu hàm số có đạo hàm tại thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:
+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :
∆y= f( x0+ ∆x)- f( x0) .
+ Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.
+ Bước 3:
3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
* Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
* Chú ý:
+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.
+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
4. Đạo hàm một bên, Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
a. Đạo hàm bên trái, bên phải
+ Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phải
ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x0 và kí hiệu f'(x0+)
+ Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số là
Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f'(x0+) và f;(x0-) đồng thời f’ (x0+ )=f'(x0-) .
b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).
Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).
Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:
y – y0= f’(x0) ( x- x0)
trong đó y0= f( x0)
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
a. Vận tốc tức thời.
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0:
v(t0) = s’(t0)
b. Cường độ tức thời.
Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0:
I(t0)= Q’(t0) .
II. Công thức đạo hàm
Giả sử và là các hàm số có đạo hàm tại điểm thuộc khoảng xác định. Ta có:
Đạo hàm các hàm số sơ cấp
với
với
Đạo hàm cấp cao
Quy tắc cơ bản của đạo hàm
(C’) = 0 Đạo hàm của hằng số bằng 0 |
Đạo mà của một tổng bằng tổng các đạo hàm |
Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp
Nếu thì
Công thức đạo hàm cơ bản
Đạo hàm của f(x) với x là biến số |
Đạo hàm của f(u) với u là một hàm số |
Công thức đạo hàm lượng giác
Bảng đạo hàm
III. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp: Nếu như tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 bằng khái niệm ta thực hiện các bước:
- Bước 1: Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0. Tính Δy=f(x0+Δx)–f(x0).
- Bước 2: Tính limΔx→0ΔyΔx.
- Bước 3: Kết luận.
Ví dụ: Dùng khái niệm hãy tính đạo hàm của hàm số sau: f(x)=x2–3x
Giải:
– Giả sử Δx là số gia của đối số tại x.
Khi đó:
Δy=f(Δx+x)–f(x)=(Δx+x)2–3Δx–3x–x2+3x=(Δx)2+2xΔx=Δx(Δx+2x)
– Tính:
limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0Δx(Δx+2x)Δx=limΔx→0(Δx+2x)=2x
– Vậy: f′(x)=2x
Dạng 2: Tính đạo hàm bằng phép toán
Ví dụ:
y=2x+11–3x
⇒y′=(2x+1),(1–3x)–(2x+1)(1–3x),(1–3x)2=2(1–3x)+3(2x+1)(1–3x)2=5(1–3x)2
Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp
Ví dụ:
y=(x2+x)4⇒y′=4(x2+x)3.(x2+x),=4(2x+1)(x2+x)3
Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao
Phương pháp:
1.Để tính đạo hàm cấp 2,3,4,…ta dung công thức: y(n)=(yn–1)/.
2.Để tính đạo hàm cấp n:
- Tính đạo hàm cấp 1,2,3,… từ đấy suy ra đạo hàm cấp n.
- Dùng phương pháp quy nạp toán học nêu chứng minh công thức đúng.
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y=1x.
Giải
Ta có:f′(x)=–1×2
f”(x)=1.2×3
f”′(x)=1.2.3×4
….
f(n)(x)=(–1)nn!xn+1
Suy ra: (1x)(n)=(–1)n.n!xn+1
Thật vậy: Khi n=1: Ta có: (1x)‘=(–1).1!x2=–1×2.
Vậy: Mệnh đề đúng khi n=1.
– Khi n=k>1, tức là (1x)(k)=(–1)k.k!xk+1.
Ta cần chứng minh: n=k+1, tức là (1x)(k)+1=(–1)k+1.(k+1)!xk+2
(1x)(k+1)=[(1x)k],=[(–1)k.k!xk+1],=(–1)k.k![1xk+1],=(–1)k+1.(k+1)!xk+2
Vậy: Mệnh đề đúng khi n=k+1.
Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết tại Giải Bài Tập. Mời các bạn cùng xem các nội dung giải trí học tập và các kiến thức thú vị khác tại đây.