Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1. Định nghĩa bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1: Xây dựng phương trình

Trong bước này thì ta tiến hành chọn ẩn số và đặt ra các điều kiện thích hợp cho ẩn số đã chọn. Bằng cách này thì ta tạo ra một số cơ sở vững chắc để tiếp tục quá trình giải phương trình. Tiếp theo ta sẽ biểu diễn các đại lượng chưa biết dưới dạng của ẩn số và các đại lượng đã biết tận dụng kiến thức đã có để tạo ra một mô hình đồng nhất.

Ngoài ra thì ta cũng sẽ thực hiện biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua các biểu thức và kết hợp chúng để lập thành phương trình biểu thị mối quan hệ giữa chúng. Quá trình này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự tương tác và phụ thuộc giữa các yếu tố.Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Câu 1: Một chiếc xe khách chở n người, một chiếc thứ hai chở số người nhiều hơn chiếc xe thứ nhất là 10 người. Mỗi xe phải chở bao nhiêu người để tổng số người trên hai xe là 50 người?

Câu 2: Hai chiếc xe cùng xuất phát tại một thời điểm tới cùng một địa điểm. Xe đầu tiên tới điểm đến trước xe thứ hai 3 giờ. Tổng thời gian hoàn thành quãng đường của cả hai xe là 9 giờ. Hỏi mỗi xe đi hết quãng đường trong bao lâu?

Câu 3: Mẹ hơn con 24 tuổi. Sau 2 năm nữa thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tuổi của con hiện nay là bao nhiêu?

Câu 4: Tìm hai số tự nhiên chẵn liên tiếp biết tích của chúng là 24

Câu 5: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3 cm. Chu vi hình chữ nhật là 100 cm. Chiều rộng hình chữ nhật là bằng bao nhiêu?

Câu 6: Một xe đạp khởi hành từ điểm A chạy với vận tốc 15 km/h. Sau đó 6 giờ thì một xe hơi đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe đạp?

Câu 7: Một người đi từ A đến B. Trong nửa quãng đường đầu người đó đi với vận tốc 20 km/h phần đường còn lại đi với vận tốc 30 km/h. Vận tốc trung bình của người đó khi từ A đến B là bao nhiêu?

Câu 8: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi nên thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.

Câu 9: Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. NHưng do yêu cầu đột xuất người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.

Câu 10: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m. Tính chiều dài của mảnh đất đó.

Câu 11: Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau 1 giờ 30 phút thì một xe con cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe tải. Tính quãng đường AB.

Câu 12: Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến bến B thì ca nô quay trở về bến A ngay và gặp bè khi đó bè đã trôi được 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô

Câu 13. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB?

Câu 14: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 1h20 phút và ngược dòng hết 2h. Biết vận tốc dòng nước là 3km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô?

Câu 15: Một hình chữ nhật có chu vi 372 m nếu tăng chiều dài 21 m và tăng chiều rộng 10m thì diện tích tăng 2862 m2. Chiều dài của hình chữ nhật là bằng bao nhiêu?

Câu 16: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 56m. Nếu tăng chiều dài 4m và giảm chiều rộng 2m thì diện tích tăng 8m2. Chiều dài của hình chữ nhật bằng bao nhiêu?

Câu 17: Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Con tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi con. Hỏi năm nay con bao nhiêu tuổi?

Câu 18: Hình chữ nhật có đường chéo 10cm. Chiều rộng kém chiều dài 2cm. Diện tích hình chữ nhật.

Câu 19: Biết rằng cách đây 4 năm tuổi anh gấp 5 lần tuổi em. Hiện nay, tuổi anh gấp 3 lần tuổi em. Tính tuổi anh, tuổi em

Câu 20: HIệu số tuổi của anh và em là 8. Tính tuổi của mỗi người hiện nay biết rằng tuổi em cách đây 4 năm bằng nửa tuổi anh hiện nay.

3. Đáp án giải toán bằng cách lập phương trình

Câu 1:

Gọi x người là số người xe thứ nhất chở được

Chiếc xe thứ hai chở số người là: x + 10 (người)

Theo đề bài ta có:

x + (x+10) = 50

x = 20 ™

Vậy xe thứ nhất chở 20 người, xe thứ hai chở được 30 người

Câu 2:

Gọi x giờ là thời gian hoàn thành quãng đường của xe đầu tiên

Thời gian hoàn thành quãng đường của xe thứ hai là: x+3 giờ

Ta có:

x+(x+3) = 9

x = 3(tm)

Vậy xe thứ nhất và xe thứ hai đi hết khoảng thời gian lần lượt là 3 giờ và 6 giờ

Câu 3:

Gọi số tuổi của con hiện tại là x(tuổi)

Số tuổi của mẹ là x+24 (tuổi)

Ta có: 3(x+2) = x+24 +2

x =10

Vậy hiện tại tuổi của con là 10 tuổi

Câu 4:

Gọi 2 số chẵn liên tiếp cần tìm là x; x+2

Theo đề bài ta có: x(x+2) = 24

(x-4)(x +6) = 0

x = 4

Vậy hai số cần tìm là 4 và 6

Câu 5:

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là x+3 (cm)

Do chu vi của hình chữ nhật là 100cm

Ta có: 2(x +(x +3) = 100

x = 23,5

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 23,5 cm

Câu 6:

Gọi t(h) là thời gian từ lúc xe hơi chạy đến lúc đuổi kịp xe đạp

t+6 (h) là thời gian kể từ lúc xe đạp đi đến lúc xe hơi đuổi kịp

QUãng đường xe đạp đi được là s1 = 15(t+6)km

QUãng đường xe hơi đi được là s2 = 60t km

Ta có: s1=s2

Nên: 15(t+6) = 60t

60t – 15t = 90

t = 2(h) ™

Vậy xe hơi chạy được 2 giờ thì đuổi kịp xe đạp

Câu 7:

Gọi vận tốc trung bình của người đó là: x(km/h)

Gọi độ dài nửa quãng đường AB là a(km)

Khi đó ta có:

Nửa quãng đường đầu: a/20 (h)

Nửa quãng đường sau: a/30 (h)

Ta có: a/20 + a/30 = 2a/x

x = 24

Vậy vận tốc cần tìm là 24 km/h

Câu 8:

Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h)

Thời gian đi từ A đến B là 24/x (giờ)

Đi từ B đến A với vận tốc: x+4 km/h

Thời gian xe đi từ B đến A là: 24/x+4 giờ

DO thời gian về ít hơn 30 phút nên ta có:

24/x – 24/x+4 = 1/2

+ 12x – 16x + 192 =

Câu 9:

Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là x

Thời gian dự kiến làm xong 85 sản phẩm là: 85/x giờ

Thực tế mỗi giờ tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm mỗi giờ là: x +3

Do đó sản phẩm là 96 làm ra: 96/x+3 (giờ)

Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút ta có phương trình:

85/x – 96/x+3 = 1/3

-x – 36x + 765 = 0

-x+ 15x – 51x + 765 = 0

(-x – 51)(x -15) = 0

x = -51(l)

x = 15(tm)

Câu 10:

Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là x(m)

Chiều dài mảnh đất lớn hơn chiều rộng 7m: x +7 (m)

Biết độ dài đường chéo là 13m

x+(x+7) = 132

2x – 10x + 24x – 120 = 0

(2x + 24) (x -5) =0

x = -12 (l)

x = 5 ™

Vậy chiều rộng bằng 5m và chiều dài bằng 12m

Câu 11:

Gọi độ dài quãng đường AB là x

Thời gian ô tô tải đi từ A đến B là x/45 giờ

Thời gian xe con đi từ A đến B là x/60 giờ

vì xe con xuất phát sau xe tải 3/2 giờ nên ta có:

x/45 – x/60 = 3/2

x/180 = 3/2

x = 270

Câu 12:

Gọi vận tốc ca nô alf x (km/h)

Vận tốc của ca nô xuôi dòng là: x +3 km/h

THời gian của ca nô xuôi dòng từ A đến B là: 40/x+3 giờ

Vận tốc ca nô ngược dòng là: x-3 km/h

QUãng đường ca nô ngược dòng là 32 km

Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến khi gặp bè: 32/x-3 giờ

Thời gian bè trôi là: 8/3h

Ta có phương trình:

40/x+3 + 32/x-3 = 8/3

5/x+3 + 4/x-3 = 1/3

27x – 9 = x – 9

x = 27

x = 0

So sánh với điều kiện thì vận tốc của ca nô là 27 km/h

Câu 13:

Gọi thời gian xưởng làm theo kế hoạch là x ngày

Tổng số áo theo kế hoạch là 30x áo

Vì đội hoàn thành trước thời hạn 3 ngày nên thời gian thực tế là x -3 ngày

Vì theo thực tế làm thêm được 20 sản phẩm nên ta có phương trình:

40(x-3) = 30x+20

40(x-3) -20 = 30x

Câu 14:

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x km/h

Vận tốc khi xuôi dòng là: x+3 km/h

Vận tốc khi ngược dòng là: x -3 km/h

Vì ca nô xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông AB nên ta có phương trình:

4/3(x +3) = 2(x-3)

2/3x = 10

x =15 ™

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 15 km/h

Câu 15:

Nửa chu vi của hình chữ nhật là 372 :2 = 186 m

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x(m)

Chiều rộng hình chữ nhật là: 186 – x(m)

Diện tích hình chữ nhật là: x(186-x) = 186x – x(m)

Theo đề bài ta có phương trình:

186x – x + 2862 = 175x – x+ 4116

11x = 1254

x = 114(tm)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 114m

Câu 16:

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: 56 :2 = 28m

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x m

Chiều rộng hình chữ nhật là 28 – x (m)

Diện tích hình chữ nhật là: x(28-x) = 28x -x

Theo đề bài ta có:

28x – x + 8 = 104 + 22x – x

6x = 96

x = 16 ™

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 16m

Câu 17:

Gọi x là tuổi của Phương năm nay

Tuổi của mẹ năm nay là 3x tuổi

13 năm nữa tuổi Phương là: x +13 tuổi

13 năm nữa tuổi mẹ Phương: 3x + 13 tuổi

Vậy ta có phương trình:

3x + 13 = 2(x =13)

3x + 13 = 2x + 26

x = 13 ™

Vậy Phương năm nay 13 tuổi

Câu 18:

Giả sử ABCD có chiều dài là AB = x(cm)

Chiều rộng là BC: x -2 (cm)

Độ dài đường chéo AC =10 cm

x +(x-2) = 102

x + x – 4x + 4 = 100

(x -8)(x+6) = 0

x = 8 ™

x = -6(l)

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 48cm

Chiều rộng là 8 cm

Câu 19:

Gọi tuổi em cách đây 4 năm là x(tuổi)

Vì tuổi anh cách đây 4 năm gấp 5 lần tuổi em nên tuổi anh cách đây 4 năm là 5x (tuổi)

Tuổi em hiện nay là x+4 (tuổi), tuổi anh hiện nay là 5x + 4 (tuổi)

Vì hiện nay tuổi anh gấp ba lần tuổi em nên ta có phương trình:

3(x +4) = (5x+4)

⇔ 3x + 12 = 5x + 4

⇔ 2x = 8

⇔ x = 4 (TM)

Tuổi em hiện nay là: 4 + 4 = 8 tuổi

Tuổi anh hiện nay là: 3. 8 = 24 tuổi

Câu 20:

Gọi tuổi em hiện nay là x (tuổi)

Vì hiệu số tuổi hai anh em là 8 tuổi nên số tuổi của anh hiện nay là: x + 8 (tuổi)

Tuổi em cách đây 4 năm là: x – 4 tuổi

Vì tuổi em cách đây 4 năm bằng nửa tuổi anh hiện nay nên ta có phương trình:

2(x -4) = x+ 8

⇔ 2x – 8 = x + 8

⇔ x = 16 (TM)
Tuổi em hiện nay là 16 tuổi

Tuổi anh hiện nay là 16 + 8 = 24 tuổi