Bất phương trình bậc 2

Bất phương trình bậc 2

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Bất phương trình bậc 2 ẩn x có dạng tổng quát là ax2+bx+x<0 hoặc ax2+bx+c≤0, ax2+bx+c>0, ax2+bx+c⩾0

trong đó a, b, c là những số thực cho trước, a≠0

2. Tam thức bậc 2 – dấu của tam thức bậc hai

Ta có định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau:

Cho f(x) = ax2+bx+c,=b2-4ac

* Nếu △>0 thì f(x) luôn cùng dấu với a (trừ trường hợp x = -b2a

* Nếu △<0 thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi x∈R)

* Nếu △=0 thì f(x) luôn cùng dấu với a khi x<x1 hoặc x>x2; trái dấu với hệ số a khi x1<x<x2 trong đó x1, x2( với x1<x2) là hai nghiệm của hàm số f(x)

Nhận xét

ax2+bx+c>0, ∀R⇔a>0△<0ax2+bx+c<0,∀R⇔a<0△<0

3. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải bất phương trình bậc 2

Dạng 2: Giải bất phương trình bậc 2 dạng tích

Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng

Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc 2

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình x2+2x+6m>0.

Lời giải:

Đặt f(x)=x2+2x+6m

Ta có Δ’ = 1 – 6m; a = 1. Xét ba trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu Δ'<0⇔m>16⇒f(x)>0 ∀x∈ℝ .

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S=ℝ .

+) Trường hợp 2: Nếu Δ’=0⇔m=16⇒f(x)>0 ∀x∈ℝ{-1}.

Suy ra nghiệm của bất phương trình là S=ℝ{-1} .

+) Trường hợp 3: Nếu Δ’>0⇔m<16 .

Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1=−1−1−6m ; x2=−1+1−6m ( dễ thấy x1<x2 ) ⇒f(x)>0 khi​ x<x1 hoặc x>x2. Suy ra nghiệm của bất phương trình là S=−∞;x1∪x2;+∞ .

Vậy:

Với m>16 tập nghiệm của bất phương trình là S=ℝ .

Với m=16 tập nghiệm của bất phương trình là S=ℝ{-1} .

Với m<16 tập nghiệm của bất phương trình là S=−∞;x1∪x2;+∞ với x1=−1−1−6m, x2=−1+1−6m.

Ví dụ 2: Xét dấu tam thức fx=−x2−4x+5

Lời giải:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x=1, x=-5 và hệ số a = -1 < 0 nên:

f(x) > 0 khi x∈(−5;1) ; f(x) < 0 khi x∈(−∞;−5)∪(1;+∞) .

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét dấu biểu thức fx=3×2−10x+34x−5 .

Lời giải:

Ta có: 3×2−10x+3=0⇔x=3x=13 và 4x−5=0⇔x=54.

Lập bảng xét dấu:

x	−∞ 13 54 3 +∞
3×2−10x+3	+ 0 – | – 0 +
4x-5	– | – 0 + | +
f(x)	– 0 + 0 – 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

fx≤0⇔x∈− ∞;13∪54;3 ; fx≥0⇔x∈13;54∪3;+∞ .

Bài 2: Giải và biện luận bất phương trình 12×2 +2m+3x+m≤0.

Lời giải:

Đặt f(x)=12×2 +2m+3x+m, ta có a = 12 và Δ’=(m−3)2≥0

Khi đó, ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu Δ’=0⇔m=3 , suy ra f(x)≥0 ∀x∈ℝ . Do đó, nghiệm của bất phương trình là x=−b2a=−12 .

+) Trường hợp 2: Nếu Δ’>0⇔m≠3 , suy ra f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1=−12;x2=−m6

Xét hai khả năng sau:

Khả năng 1: Nếu x1<x2⇔m<3

Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là S=−12;−m6

Khả năng 2: Nếu x1>x2⇔m>3

Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là S=−m6;−12

Vậy: Với m = 3 tập nghiệm của bất phương trình là S=−12 .

Với m < 3 tập nghiệm của bất phương trình là S=−12;−m6 .

Với m > 3 tập nghiệm của bất phương trình là S=−m6;−12 .

Bài 3: Giải bất phương trình x2+2≤x−1 .

Lời giải:

Ta có x2+2≤x−1⇔x−1≥0x2+2≥0x2+2≤x2−2x+1

⇔x≥12x≤−1⇔x≥1x≤−12 (vô lý).

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Bài 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x2−2x−15>2x+5 .

Lời giải:

Ta có: x2−2x−15>2x+5⇔x2−2x−15≥02x+5<02x+5≥0x2−2x−15>2x+52

⇔x≤−3x≥5x<−52x≥−523×2+22x+40<0⇔x≤−3x≥−52−4<x<−103⇔x≤−3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S=−∞;  −3 .

Bài 5: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2×2−3x−15≤0

Lời giải:

Xét fx=2×2−3x−15 .

fx=0⇔x=3±1294 .

Ta có bảng xét dấu:

x	−∞ 3−1294 3+1294 +∞
f(x)	+ 0 – 0 +

Tập nghiệm của bất phương trình là S=3−1294; 3+1294 .

Do đó bất phương trình có 6 nghiệm nguyên là: -2; -1; 0; 1; 2; 3.

Bài 6: Xét dấu biểu thức: f(x)=x2−4 .

Lời giải:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x = -2, x = 2 và hệ số a = 1 > 0 nên:

f(x) < 0 khi x∈(−2;2) ; f(x) > 0 khi x∈(−∞;−2)∪(2;+∞).

Bài 7: Xét dấu biểu thức: f(x)=x2−4x+4.

Lời giải:

x2−4x+4=0⇔x=2 . Ta có bảng xét dấu:

x	−∞ 2 +∞
x2−4x+4	+ 0 +

Vậy f(x) > 0 với ∀x∈ℝ{2} .

Bài 8: Giải bất phương trình xx+5≤2×2+2.

Lời giải:

Bất phương trình xx+5≤2×2+2⇔x2+5x≤2×2+4⇔x2−5x+4≥0

Xét phương trình x2−5x+4=0⇔x−1x−4=0⇔x=1x=4.

Lập bảng xét dấu:

x	− ∞ 1 4 + ∞
x2−5x+4	+ 0 – 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x2−5x+4≥0⇔x∈− ∞;1∪4;+ ∞.

Bài 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn x+3×2−4−1x+2<2x2x−x2 ?

Lời giải:

Điều kiện: x2−4≠0x+2≠02x−x2≠0⇔x≠0x≠± 2.

Bất phương trình:

x+3×2−4−1x+2<2x2x−x2⇔x+3×2−4−1x+2+2xx2−2x<0⇔2x+9×2−4<0.

Bảng xét dấu:

x	−∞ − 92 -2 2 +∞
2x+9	– 0 + | + | +
x2−4	+ | + 0 – 0 +
f(x)	– 0 + || – || +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2x+9×2−4<0⇔x∈− ∞;−92∪− 2;2.

Vậy chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x = 1) thỏa mãn yêu cầu.

Bài 10 Tìm các giá trị của m để biểu thức f(x)=x2+(m+1)x+2m+7>0  ∀x∈ℝ

Lời giải:

Ta có: fx>0,∀x∈ℝ⇔a>0Δ<0⇔1>0m+12−42m+7<0

⇔m2−6m−27<0⇔−3<m<9 .

Bài 11 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình: m+1×2−2m+1x+4≥0 (1) có tập nghiệm S=R ?

Lời giải:

+) Trường hợp 1: m+1=0⇔m=−1

Bất phương trình (1) trở thành 4≥0 ∀x∈R ( Luôn đúng) (*)

+) Trường hợp 2: m+1≠0⇔m≠−1

Bất phương trình (1) có tập nghiệm S=R

⇔a>0Δ’≤0⇔m+1>0Δ’=m2−2m−3≤0⇔−1<m≤3**

Từ (*) và (**) ta suy ra với −1≤m≤3 thì bất phương trình có tập nghiệm S=R.

Bài 12 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai f(x) sau đây thỏa mãn fx=−x2+2x+m−2018<0 , ∀x∈ℝ .

Lời giải:

Vì tam thức bậc hai f(x) có hệ số a = -1 < 0 nên fx<0 ,  ∀x∈ℝ khi và chỉ khi Δ'<0⇔1−−1m−2018<0⇔m−2017<0⇔m<2017.

Bài 13: Bất phương trình 2x−1≤2x−3 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7)?

Lời giải:

Ta có: 2x−1≤2x−3⇔2x−1≥02x−3≥02x−1≤2x−32

⇔x≥12x≥324×2−14x+10≥0

⇔x≥32x≤1x≥52⇔x≥52

Kết hợp điều kiện: x∈0;7x∈ℤ , suy ra x∈3;4;5;6 .

Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7).

Bài 14: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x2+2017≤2018x .

Lời giải:

x2+2017≤2018x⇔x2+2017≥0x≥0x2+2017≤2018×2

⇔x≥0x2−1≥0⇔x≥0x≤−1x≥1 ⇔x≥1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T=1;+∞.