Bất đẳng Thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức bunhiacopxki

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi ban đầu bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz sau đó rút gọn lại gọi theo tên của nhà toán học người Nga Bunhiacopxki. Bất đẳng thức này do 3 nhà toán học nghiên cứu và phát triển. Trong lĩnh vực toán học, bất đẳng thức này được ứng dụng khá nhiều để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị.

2. Công thức

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

$left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{a}{c} = frac{b}{d}$

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ số $left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} right)$ và $left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} right)$ ta có:

$left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} right)left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} right) ge {left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$

Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

3. Hệ quả

$left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge 4abcd$

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

$sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt 6$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$1.sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}}$

$le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {frac{{a + b}}{{a + b + c}} + frac{{b + c}}{{a + b + c}} + frac{{c + a}}{{a + b + c}}} right)}$

$Leftrightarrow sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt {3.2} = sqrt 6$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = sqrt {x - 2} + sqrt {4 - x}$

Lời giải:

$A = sqrt {x - 2} + sqrt {4 - x}$

Điều kiện: $2 le x le 4$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

${left[ {1.sqrt {x - 2} + 1.sqrt {4 - x} } right]^2} le left( {{1^2} + {1^2}} right)left( {x - 2 + 4 - x} right) = {2^2} = 4$

$begin{array}{l} Rightarrow {A^2} le 4\ Leftrightarrow - 2 le A le 2 end{array}$

A max = 2 khi $frac{1}{{sqrt {x - 2} }} = frac{1}{{sqrt {4 - x} }} Leftrightarrow x - 2 = 4 - x Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì $sqrt {p - a} + sqrt {p - b} + sqrt {p - c} le sqrt {3p}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

$1.sqrt {p - a} + 1.sqrt {p - b} + 1.sqrt {p - c} le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {p - a + p - b + p - c} right)}$

$Leftrightarrow sqrt {p - a} + sqrt {p - b} + sqrt {p - c} le sqrt {3left( {3p - 2p} right)} = sqrt {3p}$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{1}{{p - a}} = frac{1}{{p - b}} = frac{1}{{p - c}} Leftrightarrow a = b = c$ hay tam giác là tam giác đều

Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c sao cho $ab + bc + ca = 1$ .

Chứng minh rằng: $2abcleft( {a + b + c} right) le dfrac{5}{9} + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}$

Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$dfrac{1}{{{a^2} + ab + bc}} + dfrac{1}{{{b^2} + bc + ca}} + dfrac{1}{{{c^2} + ca + ab}} le {left( {dfrac{{a + b + c}}{{ac + ab + bc}}} right)^2}$

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a, $A = sqrt {6 - x} + sqrt {x + 2}$

b, $B = sqrt x + sqrt {2 - x}$

Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + frac{c}{{sqrt {{c^2} + {a^2}} }} le frac{3}{{sqrt 2 }}$

(gợi ý: biến đổi vế trái thành $sqrt {frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} + sqrt {frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} + sqrt {frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}}$ rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)