Cát tuyến là gì? Tính chất?

Cát tuyến

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Là một đường thẳng cắt các với các đường khác như là đường thẳng, đường tròn, đường cong, đường cao, đường trung tuyến…

2. Tính chất

Cho một đường tròn tâm O với hai đường thẳng AB, CD. Ta có:

• Nếu 2 đường thẳng chứa các dây AB, CD của một đường tròn tại một điểm M thì MA x MB = MC x MD.
• Đảo lại nếu 2 đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M và MA x MB = MC x MD thì bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
• Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì MC^2 = MA x MB = MO^2 – R^2.
• Từ 1 điểm K nằm bên ngoài đường tròn ta lần lượt kẻ các tiếp tuyến KA, KB, cát tuyến KCD. H là trung điểm của CD thì 5 điểm K, A, H, O, B cùng nằm trên 1 trung điểm.
• Vẫn từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KA với cát tuyến KCD thì AC/AD = BC/BD. Ta cũng có: Góc KAC = góc ADK => AC/AD = KC/KA.

3. Cách vẽ

– Bước 1: Xác định chính xác 2 điểm bất kỳ phân biệt nằm trên đường tròn hoặc đường đường cong đó.

– Bước 2: Dùng bút để kẻ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt đã đề cập trước đó. Như thế là chúng ta đã có ngay được 1 cát tuyến đường tròn và đường cong rồi.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Từ một điểm K nằm bên ngoài đường tròn, ta kẻ các tiếp tuyến lần lượt là KA, KB và kẻ thêm cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Gọi M chính là giao điểm của OK và AB. Vẽ dây DI đi qua M. Hãy chứng minh rằng:

a) KIOD là một hình tứ giác nội tiếp.

b) KO chính là phân giác của góc IKD.

Ta có hình vẽ:

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó.

a, Chứng minh rằng ta luôn có MI² = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB

b, Khi cho MT = 20cm, MB = 50cm, tính bán kính đường tròn?

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hãy vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.

a) CM: MA.MA = MC.MD.

b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng CHOD nội tiếp và AB là đường phân giác của góc CHD.

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh: A, B, K thẳng hàng

Lời giải:

a) Có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết)

→ góc MAC = góc MDA → △ MAC ~ △ MDA (g.g)

→ MA/MD = MC/MA (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) → MA2 = MC.MD (đpcm)

b) Có I là trung điểm của CD (giả thiết)

→ Góc MIO = 900 = góc MAO = MBO

→ 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

c) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H

→ MH. MO = MA2 = MC. MD

→ MA/MD = MC/MA → △ MHC ~ △ MDC

→ góc MHC = góc MDO

→ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn

→ Góc OHD = góc OCD = góc ODC = góc MHC

→ 900 – góc MHC = 900 – góc OHD → góc CHB = góc BHD

→ HB là phân giác của góc CHD.

d) Có KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)

→ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc một đường tròn) mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) (hay 4 điểm H, O, D, C cùng thuộc một đường tròn)

→ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

→ HK là phân giác của góc CHD (do KC = KD) → 3 điểm A, B, K thẳng hàng.

Bài 2: Cho 2 đường thẳng song song a, b và một đường cát tuyến c. Hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại điểm I. Chứng minh điểm I cách đều 3 đường thẳng a, b và c.

Giải

Gọi 3 điểm A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến a, b, c.

Xét hai góc trong cùng phía CEA và CFB ta có:

Do I nằm trên tia phân giác của góc CEA nên IA = IC (1)

Do I nằm trên tia phân giác của góc CFB nên IC = IB (2)

Từ (1) và (2) => IA = IB = IC

=> I cách đều đường thẳng a, b và c.

Bài 3: Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn tâm O, hãy kẻ các tiếp tuyến KA, KB và kẻ thêm đường cát tuyến KCD đến đường tròn. Lấy M là giao điểm AB và OK. Vẽ đoạn DI đi qua M. Chứng minh:

a) KIOD là tứ giác nội tiếp.

b) KO là đường phân giác góc IKD.

Giải

a)

Ta có tứ giác AIBD nội tiếp đường tròn (O) và AB ⋂ ID = M

=> MA.MB = MI.MD (1)

Mặt khác ta có góc KAO = góc KBO = 900 => OBKA là tứ giác nội tiếp

=> MA.MB = MO.MK (2)

Từ (1) và (2) => MI.MD = MO.MK

=> KIOD là một tứ giác nội tiếp

b)

Vì KIOD là tứ giác nội tiếp

Nên góc DKO = góc DIO

góc OKI = góc ODI

Mà ΔDOI cân tại O nên góc DIO = góc DOI

=> góc DKO = góc OKI

Do đó KO là phân giác góc IKD

Bài 4: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến ADE. H là giao điểm AO và BC. Chứng minh H là trung điểm BC.

Giải

Xét tứ giác OBAC ta có góc B = góc C = 900 (tính chất tiếp tuyến)

=> góc B + góc C = 1800

Mà hai góc này đối nhau => OBAC nội tiếp đường tròn

Ta có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau)

OB = OC = R

=> O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (1)

Ta có AB = AC (cmt)

=> A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (2)

Từ (1) và (2) => OA là đường trung trực của đoạn BC

hay OA 丄 BC

Ta có ΔOBC cân tại O (OB = OC = R)

Mà OH là đường cao ΔOBC

Nên H là trung điểm BC

Bài 5: Từ điểm K ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và một cát tuyến KCD. Lấy H làm trung điểm CD. Vẽ dây AF đi qua điểm H. Chứng minh BF//CD.

Bài 6. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của CD. Đường thẳng qua H // BD và cắt AB tại T. Chứng minh CI vuông góc với OB.

Bài 7. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Vẽ đường kính AI. Các dây IC, ID cắt đoạn thẳng KO theo thứ tự tại G, N. Chứng minh OG=ON.

Bài 8. Từ điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn tâm (O), kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB của đường tròn (O).

Chứng minh rằng MI² = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB

Khi cho đoạn thẳng MT = 20cm và MB = 50cm, tính bán kính đường tròn?

Bài 9: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh rằng góc ADC = góc MDB.