Cách chứng minh hình thang

Cách chứng minh hình thang

I. Lý thuyết

Để chứng minh một tứ giác là hình thang, ta cần chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất một cặp cạnh đối diện song song. Dưới đây là các phương pháp chính:

Cách 1: Sử dụng tính chất song song của cạnh

Cho tứ giác ABCD, nếu ta chứng minh được AB // CD, thì ABCD là hình thang.

Cách 2: Chứng minh tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180°

Ví dụ, nếu tổng góc A và góc B (hai góc kề nhau ở một cạnh bên của hình thang) là 180°, thì ABCD là hình thang.

Cách 3: Sử dụng đường trung bình của tam giác

• Gọi M, N là trung điểm của các cạnh liên tiếp của tứ giác.
• Nếu đoạn thẳng nối hai trung điểm này song song và bằng một nửa cạnh đối diện, tứ giác đó là hình thang.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, BE, AC và BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.
Theo bài ra ta có:
M là trung điểm của AE
N là trung điểm của BE
=> MN là đường trung bình ứng với cạnh AB của ΔEAB, suy ra MN // AB (1)
Gọi R là trung điểm của AD
Trong ΔADB, RQ là đường trung bình, suy ra RQ // AB
Trong ΔCAD, RP là đường trung bình, suy ra RP // DC
mà DC // AB nên RP // AB.
RQ và RP cùng đi qua R và cùng song song với AB nên theo tiên đề Ơclit thì RQ ≡ RP
Từ đây ta suy ra QP // AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ => Tứ giác MNPQ là hình thang do một cặp cạnh đối song song.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy một điểm B’ sao cho AB’ = AB và trên AB lấy một điểm C’ sao cho AC’ = AC. Chứng minh tứ giác BB’CC’ là hình thang.
Ta có:
AB’ = AB
=> ∆BAB’ cân tại A
=> Góc ABB’ = (180°- Â)/2
Chứng minh tương tự, ta có: Góc AC’C = (180°- Â)/2
=> Góc ABB = Góc AC’C
=> Góc ABB’ + Góc B’BC’ = Góc AC’C + Góc B’BC’
=> Góc AC’C + Góc B’BC’ = 180°
=> Tứ giác BB’CC’ là hình thang do tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có AD = BC, đường chéo AC là phân giác góc A. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.

Giải

Ta có: AD = CD suy ra tam giác ADC cân tại D

=>

=> AB // CD (hai góc so le trong bằng nhau)

Vậy ABCD là hình thang.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh BCDE là hình thang cân.

Giải

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB nên AD = DC = AE = EB

Vì AD = AE nên tam giác ADE cân tại A, suy ra

Mạt khác, tam giác ABC cân tại A nên

Suy ra

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC

Suy ra BEDC là hình thang.

Lại có

Suy ra BEDC là hình thang cân.

Bài 3: Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD, biết AB = 4cm, CD = 8cm, BC = 5cm, AD = 3cm. Chứng minh ABCD là hình thang vuông.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Bài 5: Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác của góc D. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BH và CK. Chứng minh BCHK là hình thang cân.