Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là gì?
*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Kí hiệu: d (a,b) = MN trong đó M∈a, N∈b và MN⊥a, MN⊥b
*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.
*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Được minh họa bằng hình vẽ như sau:
Ký hiệu: d (a,b) = d (a,(Q)) = d (b,(P)) = d ((P),(Q)). Trong đó, (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và (P) // (Q).
2. Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
Để có thể tính được khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chúng ta có thể sử dụng một trong các cách dưới đây:
Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b, khi đó d (a,b) = MN.
Tuy nhiên, khi dựng đoạn vuông góc chung MN, chúng ta có thể sẽ gặp phải các trường hợp sau:
Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo vừa vuông góc với nhau
Khi gặp trường hợp này, chúng ta sẽ làm như sau:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I
Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ đường thẳng IJ vuông góc với ∆’
Khi đó IJ chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = IJ.
Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau
Bước 1: Bạn chọn một mặt phẳng (α) chứa ∆’ và song song với ∆
Bước 2: Bạn dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm M thuộc ∆ dựng đoạn MN vuông góc với (α) . Khi đó, d sẽ là đường thẳng đi qua N và song song với ∆
Bước 3: Bạn gọi H là giao điểm của đường thẳng d với ∆’, dựng HK // MN
Khi đó, HK chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = HK = MN.
Hoặc bạn làm như sau:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) vuông góc với ∆ tại I
Bước 2: Bạn tìm hình chiếu d của ∆’ xuống mặt phẳng (α)
Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ vuông góc với d, từ J bạn dựng đường thẳng song song với ∆ và cắt ∆’ tại H, từ H dựng HM // IJ
Khi đó, HM chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = HM = IJ.
Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó, d (∆, ∆’) = d (∆’, (α)).
Phương pháp 3: Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đó chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng cần tìm.
Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ
*MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi:
*Nếu trong mặt phẳng (α) có hai véc tơ không cùng phương thì:
3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD
+ Xét tam giác ACD đều có NA là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên NA = (a√3)/2.
Tương tự: NB = (a√3)/2.
⇒ NA = NB nên tam giác ANB cân tại N
suy ra đường trung tuyến NM đồng thời là đường cao: NM ⊥ AB
+ Chứng minh tương tự ta có NM ⊥ DC, nên d(AB; CD) = MN.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ∠BAD = 60° và SO = 3a/4. Biết SA = SC và SB = SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải
+ Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC
Vì SB = SD nên tam giác SBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD.
+ Ta có:
Trong mp(SAC) , kẻ OH ⊥ SA (H ∈ SA). Ta chứng minh OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD
Ta có: OH ⊥ SA (cách dựng) và OH ⊥BD ( vì BD⊥( SAC)
⇒ OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Do đó: d(SA; DB) = OH.
Ta có: Tam giác ABD cân tại A có góc A bằng 60° nên tam giác ABD đều cạnh a.
+ Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có:
Chọn B
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5; BC = a√2. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC
Hướng dẫn giải
Ta tìm đoạn vuông góc chung của SD và BC:
Lại có; DC ⊥ BC nên DC là đoạn vuông góc chung của SD và BC
⇒ d(SD; BC) = DC.
Áp dụng định lí Pyta go vào tam giác vuông ABC có
Chọn đáp án D
Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh CD và AB.
Ta chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
+ Do ABCD là tứ diện đều nên ΔACD = ΔBCD
⇒ AM = BM
⇒ Tam giác MAB cân tại M có MN là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
⇒ MN ⊥ AB
+ Chứng minh tương tự ta có: MN ⊥ CD
⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
⇒ d( AB; CD) = MN
+ Ta có: NB = AB/2 = a/2.
Tam giác BCD đều cạnh a nên BM = BC.sin60° = (a√3)/2
Chọn đáp án B
Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a và AC = 2a. Tính khoảng cách giữa AC’ và CD’
Hướng dẫn giải
Ta có hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng (DCC’D’) là DC’ ⊥ D’C nên AC’ ⊥ D’C
⇒ D’C ⊥ (ADC’B’) tại điểm H là trung điểm CD’.
Từ H ta kẻ HK ⊥ AC’
⇒ d(AC’; D’C) = HK (khi đó HK là đoạn vuông góc chung của AC’ và D’C)
Ta tính khoảng cách d từ điểm D đến đường thẳng AC’
+ Áp dụng định li Pytago với tam giác vuông ABC ta có
+ Áp dụng định lí pytago với tam giác vuông DCC’ ta có:
+ Xét tam giác ADC’ có:
Chọn đáp án D
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có AB = a, BC=a3 . Biết SA=a2
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Hướng dẫn giải
a) Dựng Bx//AC,AE⊥Bx⇒(SAE)⊥Bx
Dựng AF⊥SE⇒d(AC;SB)=AF
Dựng BH⊥AC dễ thấy AE=BH=a32
Ta có: AF=AE.SASA2+AE2=a3010
b) Dựng Cy//AB⇒d(AB,SC)=d(AB,(SCy))
Dựng Cy//AB⇒d(AB,SC)=d(AB,(SCy))
Lại có : AM=BC=a3⇒AN=AM.SASA2+AM2=a2127
Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết tại Giải Bài Tập. Mời các bạn cùng xem các nội dung giải trí học tập và các kiến thức thú vị khác tại đây.