Tổng hợp công thức giải nhanh môn Toán 12 đầy đủ

Việc nhớ chính xác một công thức Toán lớp 12 trong hàng trăm công thức không phải là việc dễ dàng, với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc nhớ Công thức, Giaibaitap.pro.vn gửi đến bạn bản tóm tắt Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Giải tích chi tiết nhất. Hi vọng loạt bài này sẽ như là cuốn sổ tay công thức giúp bạn học tốt môn Toán lớp 12 hơn.

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

1. Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu +)

+ Tập xác định:

+ Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức  )

+ Đạo hàm:

– Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình tìm nghiệm.

– Đối với hàm phân thức  ; (hoặc < 0 ) 

+ Bảng biến thiên:

Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.

+ Bảng giá trị: (5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân thức  )

+ Vẽ đồ thị:

2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định:

a. Hàm bậc 3: y = ax³ + bx² + cx + d

Tập xác định  .

Đạo hàm y’ = ax² + 2bx + c là 1 tam thức bậc 2.

– Hàm số đồng biến trên 

– Hàm số nghịch biến trên 

b. Hàm nhất biến: 

Tập xác định 

Đạo hàm  có dấu phụ thuộc vào dấu của tử.

– Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

⇔ y’ > 0, ∀x ∈ D ⇔ ad – cb > 0 (Không có dấu “=”)

– Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

⇔ y’ < 0, ∀x ∈ D ⇔ ad – cb < 0 (Không có dấu “=”)

. Cực trị của hàm số:

– Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại 

– Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại 

– Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại 

a. Hàm bậc 3: y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

⇒ y’ = ax² + 2bx + c

– Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) ⇔ phương trình y = 0 có 2 nghiệm phân biệt 

– Hàm số không có cực trị ⇔ Phương trình y = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 

b. Hàm bậc 4 (trùng phương): y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

⇒ y’ = 4ax³ + 2bx + c

Ta có: y’ = 0 ⇔ y’ = 4ax³ + 2bx + c

– Hàm số có 3 cực trị ⇔ Phương trình ⇔ có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0  .

– Hàm số có 1 cực trị ⇔ Phương trình ⇔ có 1 nghiệm

⇔ Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 .

4. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) xác định trên 1 đoạn [a;b]

– Hàm số liên tục trên đoạn [a;b]

– Tính đạo hàm .

Giải phương trình y = 0 . Tìm các nghiệm x_i ∈ [a;b] (i = 1,2,3….)

– Tính y(a) , y(b) , y(x_i)

– So sánh và kết luận.

b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên 1 khoảng hoặc nửa khoảng (a;b),(a;+∞),(-∞;b),[a;b),(a;b] …

– Tìm tập xác định.

– Tính đạo hàm

– Lập bảng biến thiên

– Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận.

5. Tìm giao điểm của hai đường.

– Cho hai đồ thị (C₁): y = f₁(x) và (C₂): y = f₂(x) .

– Phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là : f₁(x) = f₂x (*)

– Giải phương trình (*) ta được hoành độ giao điểm, thế vào 1 trong 2 hàm số y = f₁(x) hoặc y = f₂(x) được tung độ giao điểm.

6. Tìm điều kiện của tham số m để hai đường cong cắt nhau với số điểm cho trước.

– Cho hai đồ thị (C₁): y = f₁(x) và (C₂): y = f₂(x) .

– Phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là : f₁(x) = f₂x (*)

– (C₁) và (C₂) cắt nhau tại n điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có n nghiệm phân biệt.

Lưu ý : Trục hoành có phương trình

7. Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình.

Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình .

Biến đổi phương trình h(x,m) = 0 về dạng f(x) = g(m) (*).

– Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị :

– Bảng kết quả :

Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm, đúng 4 điểm …)

8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M₀(x₀; y₀) là: y = f'(x₀)(x – x₀) + y₀

Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng: 

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm

– Tính đạo hàm y’

– Thay x₀ vào y tính y₀

– Thay x₀ vào y tính f'(x₀)

– Phương trình tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x – x₀) + y₀

Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm y₀ .

– Giải phương trình f(x₀) = y₀ tìm x₀ .

– Thay x₀ vào y tính f'(x₀)

– Phương trình tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x – x₀) + y₀

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k .

– Giả sử tiếp điểm là M₀(x₀; y₀)

– Giải phương trình f'(x₀) = k tìm x₀ .

– Thay x₀ vào y ta tìm được y₀ .

– Phương trình tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x – x₀) + y₀

Lưu ý:

– Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì f'(x₀) = a .

– Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) thì  .

Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

I. Lũy thừa

1. Công thức lũy thừa:

Các tính chất quan trọng:

– Nếu a > 1 thì a^α > a^β ⇔ α > β

– Nếu 0 < a < 1 thì a^α > a^β ⇔ α < β thì α < β

2. Công thức căn bậc n

II. Hàm số mũ

1. Định nghĩa: Cho a > 0, a ≠ 1 ( cố định). Hàm số mũ là hàm số xác định bởi công thức : y = a^x ( x ∈ R)

2. Tính chất:

a) Hàm số mũ liên tục trên R

b) y = a^x > 0 mọi x ∈ R

c) a > 1 : Hàm số đồng biến

a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ < x₂

d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến

a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ > x₂

Chú ý : a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ = x₂

3. Đồ thị :

4. Phương trình và bất phương trình mũ:

a. Phương trình mũ:

+) a^x = b ⇔ x = log_ab

+) a^fx = b ⇔ f(x) = log_ab

+) a^(fx) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

b. Bất phương trình mũ:

+) a^x > b ⇔ x > log_ab nếu a > 1

a^fx > b ⇔ f(x) > log_ab nếu a > 1

+) a^x > b ⇔ x < log_ab nếu 0 < a < 1

a^fx > b ⇔ f(x) < log_ab nếu 0 < a < 1

+) a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x) nếu a > 1

a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x) nếu 0 < a < 1

III. Hàm số Lôgarit

1. Định nghĩa :

a) Cho a > 0, a ≠ 1 , N > 0

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : a^M = N

Ký hiệu : log_aN = M

b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a ≠ 1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = log_ax ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1)

2. Đồ thị:

3. Công thức lôgarit:

+) log_a1 = 0

+) log_aa = 1

+) log_ab^α = αlog_ab Đặc biệt: 

+) 

+) log_abc = log_b + log_ac (lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit)

+)  (lôgarit của thương bằng hiệu các lôgarit)

+) (đổi cơ số)

+)

+)log_ab.log_bc = log_ac

+)a ^log_bc = c^log_ba Đặc biệt: a ^loa_ab = b

Các tính chất quan trọng:

– Nếu a > 1 thì log_a α > log_a β ⇔ α > β

– Nếu 0 < a < 1 thì log_a α > log_a β ⇔ α < β

4. Phương trình và bất phương trình lôgarit:

a. Phương trình lôgarit:

+) log_ax = b ⇔ x = a^b

+) log_af(x) = b ⇔ f(x) = a^b

+) log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

b.Bất phương trình lôgarit:

+) log_ax > b ⇔ x > a^b nếu a > 1

log_af(x) > b ⇔ f(x) > a^b nếu a > 1

+) log_ax > b ⇔ x < a^b nếu 0 < a < 1

log_af(x) > b ⇔ f(x) < a^b nếu 0 < a < 1

+) log_af(x) > log_a g(x) ⇔ f(x) > g(x) nếu a > 1

+) log_af(x) > log_a g(x) ⇔ f(x) < g(x) nếu 0 < a < 1

Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit:

+) a^f(x) → Không có điều kiện.

+) log_f(x)g(x) Điều kiện: 

+) Đặt t = a^x → Điều kiện: t > 0

+) Đặt t = log_ax → Không có điều kiện t

Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

1. Công thức nguyên hàm:

2. Phương pháp đổi biến số dạng 1: 

Một số cách đổi biến thường gặp:

+) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa  thì đặt t = 

+) Khi tính tích phân dạng  :

– Nếu m và n chẵn ta dùng công thức hạ bậc.

– Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt t = sinx .

– Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt t = cosx .

3. Phương pháp đổi biến số dạng 2:

– Hàm có chứa  thì đặt x = asint

– Hàm có chứa  thì đặt 

– Hàm có chứa  hay a² + x² thì đặt x = atant

4. Tích phân từng phần: 

Thứ thự ưu tiên: Inx → P(x) → 

5. Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ: 

– Bậc của P(x) ≥ Bậc của Q(x) : Chia đa thức tử cho mẫu.

– Bậc của P(x) < Bậc của Q(x) : → Phân tích mẫu thành tích và biến đổi theo cách sau:

Đặc biệt : 

6. Tính diện tích hình phẳng

– Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, hai đường thẳng x = a , x = b .

Công thức: 

– Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số y = F(x) , y = g(x) hai đường thẳng x = a , x = b .

Công thức: 

7. Tính thể tích vật thể tròn xoay: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b quay quanh trục hoành tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích là:

Chương 4: Số phức

1. Định nghĩa số phức: Số phức là 1 biểu thức có dạng z = a + bi , trong đó a,b là các số thực, i² = -1 .

a: được gọi là phần thực

b: được gọi là phần ảo

– Tập hợp các số phức được ký hiệu là 

– Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.

– Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ khi có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau.  “Thực bằng thực, ảo bằng ảo”

– Môđun của số phức : 

– Số phức liên hợp: của số phức 

– Phép cộng hai số phức:

(a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i

– Phép trừ hai số phức: (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i

– Phép nhân hai số phức:

(a + bi).(a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i

– Phép chia hai số phức:

.

– Số phức nghịch đảo của z là: 

2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức:

Cho phương trình bậc hai 

Δ = b² – 4ac

+) Δ < 0 : Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:

+) Δ = 0 : Phương trình có nghiệm kép thực : 

+) Δ > 0 : Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt:

Chú ý:

+) Khi giải phương trình trùng phương az⁴ + bz² + c trên tập số phức  , ta đặt t = z² (không cần điều kiện cho )

+) 

Chương 1: Khối đa diện

I. Hình chóp – khối chóp:

Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích dáy nhân với chiều cao

Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác:

– Trong tam giác ABC, nếu M là điểm tùy ý trên cạnh BC ta có:

– Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

– Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành 4 phần có diện tích bằng nhau.

II. Các khối hình chóp thường gặp:

1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các cạnh bên đều bằng nhau.

Tính chất của hình chóp đều:

– Đường cao đi qua tâm của đáy.

– Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các góc bằng nhau.

– Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

Chú ý:

– Tứ giác đều là hình vuông, ta thường vẽ là hình bình hành có tâm là giao điểm của 2 đường chéo.

– Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường có tâm là giao điểm hai đường trung tuyến.

– Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

2) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

Chú ý: Giả thiết bài toán có thể cho một trong hai dạng sau:

+) SA ⊥ (ABCD)

+) (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD)

Ta có: 

Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó”

3) Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: thì đường cao của mặt bên đó sẽ là đường cao của hình chóp.

Chú ý:

+) Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia”

+) Đường cao SH của ΔSAB chính là đường cao của hình chóp nên vẽ SH thẳng đứng.

+) Thường bài toán cho “ΔSAB là tam giác đều là nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy” ta trình bày như sau:

– Gọi H là trung điểm AB

– Vì ΔSAB đều ⇒ SH là đường cao của ΔSAB ⇒ SH ⊥ AB

Ta có: 

III. Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S.

Ta có:  (Công thức này chỉ được dùng cho khối chóp tam giác)

Các trường hợp đặc biệt:

+) C ≡ C’

+) C ≡ C’ , B ≡ B’

IV. Ứng dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng:

Ta có:

Tương tự:

Trong đó: V_A.SBC = V_B.SAC = V_C.SAB = V_S.ABC

V. Hình lăng trụ – khối lăng trụ:

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao

V = S_day x cao

Tính chất của hình lăng trụ:

+) Các cạnh bên song song và bằng nhau.

+) Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.

+) Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hai đa giác bằng nhau, có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.

Đối với hình lăng trụ đứng:

+) Các cạnh bên cũng là đường cao.

+) Các mặt bên là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Đối với lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.

3) Hình hộp:

+) Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

+) Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy.

+) Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Thể tích hình hộp chữ nhật (a, b, c: 3 kích thước)

+) Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

Thể tích hình lập phương V = a³ (a: độ dài cạnh)

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết tại Giải Bài Tập. Mời các bạn cùng xem các nội dung học tập, giải trí và các kiến thức thú vị khác tại đây. Chúc các bạn lướt web vui vẻ !