Đề kiểm tra học kì 1 môn Toán lớp 11 có đáp án đề số 1

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (20 câu – 4,0 điểm – Thời gian: 35 phút)

Câu 1 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số?

A. 100.                                    B. 120.

C. 180.                                    D. 216.

Câu 2 : Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam, 7 nữ, chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có đúng 2 nam.

A. $\dfrac{{105}}{{286}}$.

B. $\dfrac{{27}}{{286}}$.

C. $\dfrac{{11}}{{143}}$.

D. $\dfrac{{63}}{{143}}$.

Câu 3 : Cho khai triển ${\left( {x + 2} \right)^n}$. Tìm số hạng chứa ${x^6}$ của khai triển biết $2C_n^2 + 3A_n^2 - 360 = 0$.

A. 3360.

B. $3360{x^6}$.

C. $13440$.

D. $13440{x^6}$.

Câu 4 : Cho đa giác đều (H) có 16 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 16 đỉnh của (H). Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là.

A. $\dfrac{1}{{35}}$.                           B. $\dfrac{1}{{10}}$.  

C. $\dfrac{1}{5}$.                               D. $\dfrac{2}{{35}}$.

Câu 5 : Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{{2\sin x + 1}}{{\cos x - 1}}$.

A. $D = R{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}$.

B. $D = R{\rm{\backslash }}\left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$.

C. $D = R{\rm{\backslash }}\left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$.

D. $D = R{\rm{\backslash }}\left\{ {k2\pi ,k \in Z} \right\}$.

Câu 6 : Phương trình $\sin \,x + \sqrt 3 \cos x = 2$ tương đương với phương trình nào sau đây?

A. $\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1$.

B. $\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1$.

C. $\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1$.

D. $\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1$.

Câu 7 : Tìm nghiệm của phương trình $\cot \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$.

A. $x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z$. 

B. $x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z$.

C. $x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi ,k \in Z$.

D. $x = k\pi ,k \in Z$.

Câu 8 : Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình $\left( {7 - 2\cos 2x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0$ trong khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$. Giá trị của S là:

A. $S = 0$.

B. $S = \dfrac{{5\pi }}{3}$.

C. $S = 2\pi$.

D. $S = 4\pi$.

Câu 9 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G, gọi I là trung điểm của BC. Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào SAI?

A. Phép vị tự tâm A tỉ số $k = \dfrac{3}{2}$ biến điểm G thành điểm I.

B. Phép vị tự tâm I tỉ số $k = \dfrac{1}{3}$ biến điểm A thành điểm G.                                           

C. Phép vị tự tâm A tỉ số $k = \dfrac{2}{3}$ biến điểm I thành điểm G.

D. Phép vị tự tâm I tỉ số $k = \dfrac{1}{3}$ biến điểm G thành điểm A.

Câu 10 : Trong mặt phẳng Oxy, phép quay tâm O góc $- 90^\circ$ biến điểm $M\left( {2;1} \right)$ thành điểm N. Tìm tọa độ của điểm N.

A. $N\left( {1; - 2} \right)$.

B. $N\left( {1;2} \right)$.

C. $N\left( { - 1;2} \right)$.

D. $N\left( { - 1; - 2} \right)$.

Câu 11 : Trong mặt phẳng Oxy, gọi $B = \left( { - 1;2} \right)$ là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow u  = \left( { - 3;1} \right)$. Tìm tọa độ của điểm A.

A. $A = \left( { - 2;1} \right)$. 

B. $A = \left( { - 4;3} \right)$.

C. $A = \left( {2;1} \right)$.

D. $A = \left( {2; - 1} \right)$.

Câu 12 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có bán kính bằng 8. Gọi đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tỉ số k = – 2. Tính bán kính R’ của đường tròn (C’).

A. $R' = 8$.

B. $R' = 16$.

C. $R' =  - 16$.

D. $R' = 4$.

Câu 13 : Trong mặt phẳng Oxy, gọi đường thẳng (d) là ảnh của đường thẳng $\left( \Delta  \right):2x - y + 3 = 0$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow u  = \left( {3;2} \right)$. Tìm phương trình đường thẳng (d).

A. $2x - y + 7 = 0$.

B. $2x - y + 3 = 0$.

C. $- 2x + y - 1 = 0$.

D. $- 2x + y + 1 = 0$.

Câu 14 : Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,\,{u_2} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 2{u_{n - 2}},\,\,\left( {n \ge 3,n \in N} \right)\end{array} \right.$. Giá trị ${u_4} + {u_5}$ là:

A. 16.                          B. 20.

C. 22.                          D. 24.

Câu 15 : Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$nào có công thức tổng quát dưới đây là dãy số tăng?

A. ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {3 + {2^n}} \right)$.    

B. ${u_n} = \cos n$.

C. ${u_n} = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^n}$.  

D. ${u_n} = 1 - 2n$.

Câu 16 : Cho cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và có công sai $d =  - 3$. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ${u_{10}} =  - 25$.

B. ${u_{15}} =  - 40$.

C. ${u_{25}} =  - 75$.

D. ${u_{26}} =  - 73$.

Câu 17 : Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_2} + {u_{29}} = 40$. Giá trị của ${S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{30}}$ là:

A. 640.                              B. 600.           

C. 620.                              D. 500.

Câu 18 : Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 151 và chia hết cho 3?

A. 49.                          B. 50.

C. 51.                          D. 52.

Câu 19 : Cho mặt phẳng (P) và điểm A không thuộc (P). Số đường thẳng qua A song song (P) là:

A. 0.                            B. 1.

C. 2.                            D. Vô số.

Câu 20 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang (AB // CD). M là trung điểm của SC. Giao điểm của mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (SCD) là đường thẳng d. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. d đi qua M và song song đường thẳng SA.

B. d đi qua M và cắt đường thẳng SB.

C. d đi qua M và song song đường thẳng CD.

D. d đi qua M và cắt đường thẳng AB.

II. PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm – 55 phút)

Câu 1: (2,0 điểm) . Giải các phương trình sau:

a) $2\sin x - 1 = 0$.

b) ${\sin ^2}x - \cos x + 1 = 0$

c) $\sin \,x - \sqrt 3 \cos x = 1$.

Câu 2: (1,5 điểm)

a)  Một lớp học gồm 16 học sinh nam và 14 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên 6 học sinh để tham gia lớp học về “AN TOÀN GIAO THÔNG”. Tính xác suất để trong 6 học sinh được chọn số học sinh nữ gấp đôi số học sinh nam?

b)  Giải phương trình: $3A_{x - 2}^2 - 2C_x^{x - 2} - 2{x^2} + 38 = 0$

Câu 3: (2,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD song song BC và AD = 2BC. M là trung điểm của cạnh CD, Q là điểm trên cạnh SA sao cho SA = 3SQ.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBM).

b) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD, I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh IG // (SBC).

c) Mặt phẳng (BMQ) cắt cạnh SD tại P. Tính tỉ số $\dfrac{{SP}}{{SD}}$.

Câu 4: (0,5 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\sin 2x + m\cos x - 4\sin \,x - 2m = 0$ có nghiệm.

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (20 câu – 4,0 điểm – Thời gian: 35 phút)

II. PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm – 55 phút)

Câu 1: (2,0 điểm).  Giải các phương trình sau:

a)

$2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin \,x = {1 \over 2}$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\,k \in Z} \right\}$.

b) ${\sin ^2}x - \cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}x - \cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow - {\cos ^2}x - \cos x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 1 \hfill \cr \cos x = - 2\left( \text{vô nghiệm} \right) \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ {k2\pi ;\,k \in Z} \right\}$. 

c) $\sin \,x - \sqrt 3 \cos x = 1$

$\Leftrightarrow {1 \over 2}\sin \,x - {{\sqrt 3 } \over 2}\cos x = {1 \over 2}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \cos {\pi \over 3}\sin \,x - \sin {\pi \over 3}\cos x = {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow \sin \,\left( {x - {\pi \over 3}} \right) = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - {\pi \over 3} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x - {\pi \over 3} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;\,k \in Z} \right\}$. 

Câu 2: (1,5 điểm)

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega  \right) = C_{16 + 14}^6 = C_{30}^6$

Gọi A: “trong 6 học sinh được chọn số học sinh nữ gấp đôi số học sinh nam”

Vì trong 6 học sinh được chọn số học sinh nữ gấp đôi số học sinh nam nên số học sinh nam là 2, số học sinh nữ là 4.

$\Rightarrow n\left( A \right) = C_{16}^2C_{14}^4$

$\Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{C_{16}^2C_{14}^4}}{{C_{30}^6}} = \dfrac{{88}}{{435}}$

b) Giải phương trình: $3A_{x - 2}^2 - 2C_x^{x - 2} - 2{x^2} + 38 = 0$

$3A_{x - 2}^2 - 2C_x^{x - 2} - 2{x^2} + 38 = 0,\,\,\left( {x \in N,x \geqslant 4} \right)$

$\eqalign{ & \, \Leftrightarrow 3.{{\left( {x - 2} \right)!} \over {\left( {x - 4} \right)!}} - 2.{{x!} \over {\left( {x - 2} \right)!2!}} - 2{x^2} + 38 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - x\left( {x - 1} \right) - 2{x^2} + 38 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 15x + 18 - {x^2} + x - 2{x^2} + 38 = 0 \cr & \Leftrightarrow - 14x + 56 = 0 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right) \cr}$

 Phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 4 \right\}$.

Câu 3:

a) Trong (ABCD) gọi N là giao điểm của AD và BM.

Khi đó, $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBM} \right) = SN$.

b) Gọi E là trung điểm của SC.

Do G là trọng tâm tam giác SCD nên $\dfrac{{EG}}{{GD}} = \dfrac{1}{2}$

Ta có: $AD//BC,\,\,I = AC \cap BD\,\,$$\Rightarrow \dfrac{{IB}}{{ID}} = \dfrac{{BC}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{{EG}}{{GD}} = \dfrac{{IB}}{{ID}} = \dfrac{1}{2}\,\, \Rightarrow IG//BE$

Mà $BE \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow IG//\left( {SBC} \right)$.

c) Ta có: $DN//BC,\,\,DC \cap BN = M$

$\Rightarrow \dfrac{{DN}}{{BC}} = \dfrac{{DM}}{{MC}} = 1$

$\Rightarrow DN = BC \Rightarrow DN = \dfrac{1}{2}AD$

$\Rightarrow \dfrac{{DN}}{{AN}} = \dfrac{1}{3}$

Mà SA = 3SQ $\Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{SA}} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{{DN}}{{AN}} = \dfrac{{SQ}}{{SA}} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} QD//SN \hfill \\ \frac{{QN}}{{SD}} = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do $DQ//SN,\,\,\,QN \cap SD = P\,\,\,$$\Rightarrow \dfrac{{PD}}{{SP}} = \dfrac{{QD}}{{SN}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{SP}}{{SD}} = \dfrac{3}{5}$

Câu 4: (0,5 điểm)

$\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\sin 2x + m\cos x - 4\sin \,x - 2m = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\sin \,x\cos x - 4\sin \,x + m\cos x - 2m = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\sin \,x\left( {\cos x - 2} \right) + m\left( {\cos x - 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {\cos x - 2} \right)\left( {2\sin x + m} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 2\,(vo\,nghiem) \hfill \cr \sin x = - {m \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \sin x = - {m \over 2} \cr}$

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $ - 1 \le  - {m \over 2} \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2$.