Công thức định lý pytago đảo

Công thức định lý Pytago đảo

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Định lý Pytago đảo là một nguyên tắc toán học quan trọng, cho phép chúng ta xác định một tam giác có là tam giác vuông hay không chỉ bằng cách xem xét độ dài của ba cạnh. Theo định lý này, nếu tổng bình phương hai cạnh ngắn hơn bằng bình phương cạnh dài nhất, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Mathematically, điều này được biểu diễn bởi công thức:

𝑐2=𝑎2+𝑏2

trong đó 𝑐 là cạnh huyền, và 𝑎 và 𝑏 là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.

2. Chứng minh

• Giả sử: Cho tam giác ABC, với cạnh AC là cạnh huyền và hai cạnh AB và BC là các cạnh góc vuông.
• Phát biểu định lý: Cần chứng minh rằng 𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2.
• Bước chứng minh:
  • Dựng đường cao từ điểm B xuống cạnh AC tại điểm D.
  • Chứng minh tam giác ADB và tam giác BDC là các tam giác vuông (sử dụng định lý Pytago thuận cho mỗi tam giác).
  • Áp dụng định lý Pytago thuận cho cả hai tam giác vuông ADB và BDC, ta có:
    • 𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=𝐴𝐵2
    • 𝐵𝐷2+𝐷𝐶2=𝐵𝐶2
  • Cộng hai phương trình trên, ta được 𝐴𝐷2+2𝐵𝐷2+𝐷𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2.
  • Do 𝐴𝐷+𝐷𝐶=𝐴𝐶 và 𝐴𝐷2+𝐷𝐶2=𝐴𝐶2−2𝐴𝐷×𝐷𝐶, suy ra 𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2.
• Kết luận: Vì 𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2, theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại B.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 4cm, và BC = 5cm. Ta cần xác định xem tam giác này có phải là tam giác vuông hay không.

Bước tính toán:

• • Tính bình phương của các cạnh: 𝐴𝐵2=9, 𝐴𝐶2=16, 𝐵𝐶2=25.
  • Kiểm tra đẳng thức: 𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=9+16=25.
  • So sánh với bình phương cạnh BC: 𝐵𝐶2=25.
  • Vì 𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=𝐵𝐶2, theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A

Ví dụ 2:

Xét tam giác DEF với các cạnh DE = 5cm, DF = 12cm, và EF = 13cm.

Bước tính toán:

• • • Tính bình phương của các cạnh: 𝐷𝐸2=25, 𝐷𝐹2=144, 𝐸𝐹2=169
    • Kiểm tra đẳng thức: 𝐷𝐸2+𝐷𝐹2=25+144=169.
    • So sánh với bình phương cạnh EF: 𝐸𝐹2=169.
    • Vì 𝐷𝐸2+𝐷𝐹2=𝐸𝐹2, theo định lý Pytago đảo, tam giác DEF là tam giác vuông tại E.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có 𝐴𝐵=2,𝐵𝐶=3,𝐶𝐴=13

1. Tam giác ABC có phải tam giác vuông hay không?
2. Nếu vuông thì vuông ở góc nào?
3. Vẽ hình minh họa

Dễ thấy cạnh CA có độ dài lớn nhất, nếu ta có đẳng thức 𝐶𝐴2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2 thì tam giác ABC là tam giác vuông

Lời giải:

a) Ta có:

• 𝐶𝐴2=132=13
• 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=22+32=4+9=13

Suy ra 𝐶𝐴2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2

=> Theo định lí Pytago đảo thì tam giác ABC là tam giác vuông.

b) Tam giác ABC vuông tại B

c)

Bài 2: Cho tam giác ABC có: AB = 6 cm; AC = 8 cm; BC = 10 cm. Chứng minh BAC^=90°.

Lời giải:

Ta có:

AB2=62=36

AC2=82=64

BC2=102=100

AB2+AC2=36+64=100=BC2

⇒ΔABC vuông tại A (định lý Py – ta – go đảo)

⇒BAC^=90° (điều phải chứng minh)

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Gọi M là trung điểm của BC. Tính AM.

Lời giải:

Vì ABC là tam giác cân ⇒AB=ACB^=C^ (tính chất)

Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (chứng minh trên)

B^=C^ (chứng minh trên)

MB = MC (chứng minh trên)

Do đó ΔABM=ΔACM (c – g – c)

⇒AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng) (1)

Lại có: AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù) (2)

Từ (1) và (2) ⇒AMB^=AMC^=90°

Xét tam giác ABM vuông tại M có:

AB2=AM2+MB2 (định lý Py – ta – go)

Mà AB = 10cm; MB=12BC=12.12=6cm nên

102=AM2+62

AM2=100−36

AM2=64

AM = 8cm

Vậy AM = 8cm.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB, kẻ MH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng CH² – BH² = AC²

^{Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. Biết AB = 17 cm, BC = 16 cm. Tính AM.}