Đề thi vào lớp 10 có lời giải chi tiết hay nhất 2024 ( Đề số 01 )

Đề bài

Bài 1 (1,5 điểm)

1) Rút gọn biểu thức $A={\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}^2+\sqrt{40}$$A={\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}^2+\sqrt{40}$$A = {\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt {40}$

2) Rút gọn biểu thức $B=\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$$B=\left({\displaystyle \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}}\right):{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}}$$B = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$ với $x>0,x\ne 1$$x>0,x\ne 1$$x > 0,\,\,x \ne 1$

Tính giá trị của B khi $x=12+8\sqrt{2}$$x=12+8\sqrt{2}$$x = 12 + 8\sqrt 2$

Bài 2 (1,5 điểm)

Cho Parabol $\left(P\right):y=-x^2$$\left(P\right):y=-x^2$$\left( P \right):\;\;y =  - {x^2}$ và đường thẳng $\left(d\right):y=2\sqrt{3}x+m+1$$\left(d\right):y=2\sqrt{3}x+m+1$$\left( d \right):\;\;y = 2\sqrt 3 x + m + 1$ (m là tham số).

1) Vẽ đồ thị hàm số (P).

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}9x+y=11\\ 5x+2y=9\end{array}$$\{\begin{array}{l}9x+y=11\\ 5x+2y=9\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}9x + y = 11\\5x + 2y = 9\end{array} \right.$

2) Cho phương trình: $x^2-2\left(m+2\right)x+m^2+3m-2=0\left(1\right)$$x^2-2\left(m+2\right)x+m^2+3m-2=0\left(1\right)$${x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)$, (m là tham số)

a. Giải phương trình (1) khi m = 3.

b. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$$x_1,x_2$${x_1},{x_2}$ sao cho biểu thức $A=2018+3x_1{x}_2-x_1^2-x_2^2$$A=2018+3x_1{x}_2-x_1^2-x_2^2$$A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4  (1,5 điểm)

Một người dự định đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 90 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ, người đó nghỉ 9 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hẹn, người ấy phải tăng vận tốc thêm 4 km/h. Tính vận tốc lúc đấy của người đó.

Bài 5  (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính $R=3cm$$R=3cm$$R = 3cm$. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D.

1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.

2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết $OD=5cm$$OD=5cm$$OD = 5cm$. Tính diện tích của tam giác BCD.

3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh $AB.AP=AQ.AC$$AB.AP=AQ.AC$$AB.AP = AQ.AC$

4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.

Lời giải chi tiết

Bài 1.

$\begin{array}{c}1)A={\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}^2+\sqrt{40}\\ ={\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{5}.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+\sqrt{2^2.10}\\ =5-2\sqrt{10}+2+2\sqrt{10}\\ =7.\\ 2)B=\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\left(x>0,x\ne 1\right)\\ =\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\\ =\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right).\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\\ =\frac{x-1}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\\ =\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}\\ =\sqrt{x}-1\end{array}$$\begin{array}{l}1)A={\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}^2+\sqrt{40}\\ ={\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{5}.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+\sqrt{2^2.10}\\ =5-2\sqrt{10}+2+2\sqrt{10}\\ =7.\\ 2)B=\left({\displaystyle \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}}\right):{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}}\left(x>0,x\ne 1\right)\\ =\left({\displaystyle \frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}}\right):{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}}\\ =\left(\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}\right).{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}}\\ ={\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{x}}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}}\\ ={\displaystyle \frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}}\\ =\sqrt{x}-1\end{array}$$\begin{array}{l}1)\,\,A = {\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt {40} \\\,\,\,\,\,\;\;\; = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 2\sqrt 5 .\sqrt 2  + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt {{2^2}.10} \\\,\,\,\,\,\;\;\; = 5 - 2\sqrt {10}  + 2 + 2\sqrt {10} \\\,\,\,\,\,\;\;\; = 7.\\2)\,\,B = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\,\,\,\left( {x > 0,\,\,x \ne 1} \right)\\\;\;\;\;\;\;\; = \left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\\\;\;\;\;\;\;\; = \left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right).\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt x  - 1\,\,\end{array}$

Ta có

$\begin{array}{c}x=12+8\sqrt{2}={\left(2\sqrt{2}\right)}^2+2.2\sqrt{2}.2+2^2={\left(2\sqrt{2}+2\right)}^2\\ \Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}+2\right)}^2}=\left|2\sqrt{2}+2\right|=2\sqrt{2}+2\\ \left(Do2\sqrt{2}+2>0\right)\end{array}$$\begin{array}{l}x=12+8\sqrt{2}={\left(2\sqrt{2}\right)}^2+2.2\sqrt{2}.2+2^2={\left(2\sqrt{2}+2\right)}^2\\ \Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}+2\right)}^2}=\left|2\sqrt{2}+2\right|=2\sqrt{2}+2\\ \left(Do2\sqrt{2}+2>0\right)\end{array}$$\begin{array}{l}x = 12 + 8\sqrt 2  = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + 2.2\sqrt 2 .2 + {2^2} = {\left( {2\sqrt 2  + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2  + 2} \right)}^2}}  = \left| {2\sqrt 2  + 2} \right| = 2\sqrt 2  + 2\\\left( {Do\,\,2\sqrt 2  + 2 > 0} \right)\end{array}$

Thay $\sqrt{x}=2\sqrt{2}+2$$\sqrt{x}=2\sqrt{2}+2$$\sqrt x  = 2\sqrt 2  + 2$ vào B ta có $B=\sqrt{x}-1=2\sqrt{2}+2-1=2\sqrt{2}+1$$B=\sqrt{x}-1=2\sqrt{2}+2-1=2\sqrt{2}+1$$B = \sqrt x  - 1 = 2\sqrt 2  + 2 - 1 = 2\sqrt 2  + 1$.

Vậy khi $x=12+8\sqrt{2}$$x=12+8\sqrt{2}$$x = 12 + 8\sqrt 2$ thì $B=2\sqrt{2}+1$$B=2\sqrt{2}+1$$B = 2\sqrt 2  + 1$

Bài 2:

1) Vẽ đồ thị hàm số $\left(P\right):y=-x^2$$\left(P\right):y=-x^2$$\left( P \right):\;\;y =  - {x^2}$:

Ta có bảng giá trị:

$x$$x$$x$	-2	-1	0	1	2
$y=-x^2$$y=-x^2$$\;y =  - {x^2}$	-4	-1	0	-1	-4

Đồ thị hàm số:

                                  

2) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $-x^2=2\sqrt{3}x+m+1$$-x^2=2\sqrt{3}x+m+1$$- {x^2} = 2\sqrt 3 x + m + 1$

$\iff x^2+2\sqrt{3}x+m+1=0(\ast )$$\iff x^2+2\sqrt{3}x+m+1=0(\ast )$$\Leftrightarrow {x^2} + 2\sqrt 3 x + m + 1 = 0\;\;\;\left( * \right)$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\prime }>0$$\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$$\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

$\begin{array}{c}\iff {\left(\sqrt{3}\right)}^2-m-1>0\\ \iff 2-m>0\\ \iff m<2.\end{array}$$\begin{array}{l}\iff {\left(\sqrt{3}\right)}^2-m-1>0\\ \iff 2-m>0\\ \iff m<2.\end{array}$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - m - 1 > 0\\ \Leftrightarrow 2 - m > 0\\ \Leftrightarrow m < 2.\end{array}$

Vậy với $m < 2$ thì đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đồ thị hàm số $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.

Bài 3

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}9x + y = 11\\5x + 2y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 2y = 9\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 2\left( {11 - 9x} \right) = 9\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 22 - 18x - 9 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)$

1)  Cho phương trình: ${x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)$, ( m là tham số)

a)  Giải phương trình (1) khi m = 3.

Với m = 3 ta có (1) trở thành:

${x^2} - 10x + 16 = 0\,\,\left( 2 \right)$

Ta có: $\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 16 = 9 > 0$

Khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là: 

$\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 5 - 3 = 2\\{x_2} = 5 + 3 = 8\end{array} \right.$

Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có tập nghiệm là: $S = \left\{ {2;8} \right\}$

b)  Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ sao cho biểu thức $A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

+) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ khi và chỉ khi $\Delta ' > 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} + 3m - 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - {m^2} - 3m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow m >&nbsp; - 6\end{array}$

+) Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 2} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 2\end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\\\,\,\,\,\, = 2018 + 3{x_1}{x_2} - \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\\\,\,\,\,\, = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\end{array}$

Thay Viet vào A ta được:

$\begin{array}{l}A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\\ = 2018 + 5\left( {{m^2} + 3m - 2} \right) - 4{\left( {m + 2} \right)^2}\\ = 2018 + 5{m^2} + 15m - 10 - 4{m^2} - 16m - 16\\ = {m^2} - m + 1992\\ = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{7967}}{4}\,\,\,\,\,\end{array}$

Ta có: $A \ge \dfrac{{7967}}{4}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m = \dfrac{1}{2}\left( {tm} \right)$

Vậy $m = \dfrac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4:

Gọi vận tốc ban đầu của người đó là $x\;\;\left( {km/h} \right),\;\;\left( {x > 0} \right).$

Thời gian dự định người đó đi hết quãn đường là: $\dfrac{{90}}{x}\;\;\left( h \right).$

Quãng đường người đó đi được sau 1 giờ là: $x\;\;\left( {km} \right).$

Quãng đường còn lại người đó phải tăng tốc là: $90 - x\;\;\left( {km} \right).$

Vận tốc của người đó sau khi tăng tốc là: $x + 4\;\;\left( {km/h} \right),$ thời gian người đó đi hết quãng đường còn lại là: $\dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\;\;\left( h \right).$

Theo đề bài ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\dfrac{{90}}{x} = 1 + \dfrac{9}{{60}} + \dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{90}}{x} = \dfrac{{23}}{{20}} + \dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\\ \Leftrightarrow 90.20\left( {x + 4} \right) = 23x\left( {x + 4} \right) + 20.\left( {90 - x} \right).x\\ \Leftrightarrow 1800x + 7200 = 23{x^2} + 92x + 1800x - 20{x^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 92x - 7200 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 36} \right)\left( {3x + 200} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 36 = 0\\3x + 200 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 36\;\;\left( {tm} \right)\\x =&nbsp; - \dfrac{{200}}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Vậy vận tốc lúc đầu của người đó là $36\;km/h.$

Bài 5.

1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.

Do DB, DC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) $\Rightarrow \widehat {OBD} = \widehat {OCD} = {90^0}$

Xét tứ giác OBDC có  $\widehat {OBD} + \widehat {OCD} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ $\Rightarrow$ tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết $OD = 5cm$. Tính diện tích của tam giác BCD.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OBD có $BD = \sqrt {O{D^2} - O{B^2}}&nbsp; = \sqrt {{5^2} - {3^2}}&nbsp; = 4\,\,\left( {cm} \right)$

Ta có $OB = OC = R;\,\,DB = DC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow O;\,\,D$ thuộc trung trực của BC $\Rightarrow OD$ là trung trực của BC $\Rightarrow OD \bot BC$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBD có:

$DM.DO = D{B^2}$ $\Rightarrow DM = \dfrac{{D{B^2}}}{{DO}} = \dfrac{{{4^2}}}{5} = \dfrac{{16}}{5}\,\,\left( {cm} \right)$

$BM.OD = OB.BD$ $\Rightarrow BM = \dfrac{{OB.BD}}{{OD}} = \dfrac{{3.4}}{5} = \dfrac{{12}}{5}\,\,\left( {cm} \right)$

Vậy ${S_{\Delta DBC}} = \dfrac{1}{2}DM.BC = DM.BM$$\,= \dfrac{{16}}{5}.\dfrac{{12}}{5} = \dfrac{{192}}{{25}} = 7,68\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh $AB.AP = AQ.AC$

Ta có $\widehat {APQ} = \widehat {xAB}$ ( 2 góc so le trong do đường thẳng Ax // PQ)

Mà $\widehat {xAB} = \widehat {ACB}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB của (O)).

$\Rightarrow \widehat {APQ} = \widehat {ACB}$

Xét tam giác ABC và tam giác AQP có:

$\widehat {PAQ}$ chung;

$\widehat {APQ} = \widehat {ACB}\,\,\left( {\,cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta AQP\,\,\left( {g.g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AQ}} = \dfrac{{AC}}{{AP}}$

$\Rightarrow AB.AP = AC.AQ$

4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.

Kéo dài BD cắt D tại F.

Ta có $\widehat {DBP} = \widehat {ABF}$ (đối đỉnh)

Mà $\widehat {ABF} = \widehat {ACB}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

$\widehat {ACB} = \widehat {APD}$ (do )

$\Rightarrow \widehat {DBP} = \widehat {APD} = \widehat {BPD} \Rightarrow \Delta DBP$ cân tại D $\Rightarrow DB = DP$

Tương tự kéo dài DC cắt d tại G, ta chứng minh được $\widehat {DCQ} = \widehat {ACG} = \widehat {ABC} = \widehat {DQC} \Rightarrow \Delta DCQ$ cân tại D $\Rightarrow DC = DQ$

Lại có $DB = DC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow DP = DQ \Rightarrow D$ là trung điểm của PQ.

Ta có: $\Delta ABC \sim \Delta AQP\,\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AQ}} = \dfrac{{AC}}{{AP}} = \dfrac{{BC}}{{PQ}} = \dfrac{{2MC}}{{2PD}}$

$\Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AP}} = \dfrac{{MC}}{{PD}}$

Xét tam giác $AMC$ và tam giác $ADP$ có

$\widehat {ACM} = \widehat {APD}\,\,\left( {\widehat {ACB} = \widehat {APQ}\,\,\left( {cmt} \right)} \right)$

$\dfrac{{AC}}{{AP}} = \dfrac{{MC}}{{PD}}\,\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta AMC \sim \Delta ADP\,\,\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {PAD} = \widehat {MAC}\,\,\left( {dpcm} \right)$

Giaibaitap.pro.vn